(浙江专用)2020版高考数学复习第九章平面解析几何第7讲抛物线练习(含解析)

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1、第7讲抛物线[基础达标]1.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为(  )A.-B.-1C.-D.-解析:选C.由已知,得准线方程为x=-2,所以F的坐标为(2,0).又A(-2,3),所以直线AF的斜率为k==-.2.已知抛物线C1:x2=2py(p>0)的准线与抛物线C2:x2=-2py(p>0)交于A,B两点,C1的焦点为F,若△FAB的面积等于1,则C1的方程是(  )A.x2=2yB.x2=yC.x2=yD.x2=y解析:选A.由题意得,F,不

2、妨设A,B(-p,-),所以S△FAB=·2p·p=1,则p=1,即抛物线C1的方程是x2=2y,故选A.3.(2019·丽水调研)已知等边△ABF的顶点F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l,则点A的位置(  )A.在C开口内B.在C上C.在C开口外D.与p值有关解析:选B.设B,由已知有AB中点的横坐标为,则A,△ABF是边长

3、AB

4、=2p的等边三角形,即

5、AF

6、==2p,所以p2+m2=4p2,所以m=±p,所以A,代入y2=2px中,得点A在抛物线C上,故选B.4.

7、已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有(  )A.

8、FP1

9、+

10、FP2

11、=

12、FP3

13、B.

14、FP1

15、2+

16、FP2

17、2=

18、FP3

19、2C.

20、FP1

21、+

22、FP3

23、=2

24、FP2

25、D.

26、FP1

27、·

28、FP3

29、=

30、FP2

31、2解析:选C.根据抛物线的定义知

32、FP1

33、=x1+,

34、FP2

35、=x2+,

36、FP3

37、=x3+,所以

38、FP1

39、+

40、FP3

41、=+=(x1+x3)+p=2x2+p=2=2

42、FP2

43、.5.抛物线y2=4x的焦点为F,准

44、线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是(  )A.4B.3C.4D.8解析:选C.F(1,0),直线AF:y=(x-1),代入y2=4x得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=.由于点A在x轴上方且直线的斜率为,所以其坐标为(3,2).因为

45、AF

46、=

47、AK

48、=3+1=4,AF的斜率为,即倾斜角为60°,所以∠KAF=60°,所以△AKF为等边三角形,所以△AKF的面积为×42=4.6.(2019·杭州市高考模拟)设倾斜角为α的直线l经过抛物线Г:y

49、2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线Г交于A,B两点,设点A在x轴上方,点B在x轴下方.若=m,则cosα的值为(  )A.B.C.D.解析:选A.设抛物线y2=2px(p>0)的准线为l:x=-.如图所示,分别过点A,B作AM⊥l,BN⊥l,垂足分别为M,N.在三角形ABC中,∠BAC等于直线AB的倾斜角α,由=m,

50、AF

51、=m

52、BF

53、,

54、AB

55、=

56、AF

57、+

58、BF

59、=(m+1)

60、BF

61、,根据抛物线的定义得:

62、AM

63、=

64、AF

65、=m

66、BF

67、,

68、BN

69、=

70、BF

71、,所以

72、AC

73、=

74、AM

75、-

76、MC

77、=m

78、BF

79、-

80、BF

81、

82、=(m-1)

83、BF

84、,在直角三角形ABC中,cosα=cos∠BAC===,故选A.7.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到焦点F的距离等于2p,则直线MF的斜率为________.解析:设M(xM,yM),由抛物线定义可得

85、MF

86、=xM+=2p,解得xM=,代入抛物线方程可得yM=±p,则直线MF的斜率为==±.答案:±8.已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),○·M的方程为x2+y2+8x+12=0,如果抛物线C的准线与○·M相切,那么p的值为________.解析:将○·M的方程化为标准方程:

87、(x+4)2+y2=4,圆心坐标为(-4,0),半径r=2,又因为抛物线的准线方程为x=-,所以=2,p=12或4.答案:12或49.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆(x-3)2+y2=1上,则

88、PQ

89、的最小值为________.解析:由题意得抛物线与圆不相交,且圆的圆心为A(3,0),则

90、PQ

91、≥

92、PA

93、-

94、AQ

95、=

96、PA

97、-1,当且仅当P,Q,A三点共线时取等号,所以当

98、PA

99、取得最小值时,

100、PQ

101、最小.设P(x0,y0),则y=x0,

102、PA

103、===,当且仅当x0=时,

104、PA

105、取得最小值,此时

106、PQ

107、取得最

108、小值-1.答案:-110.(2019·浙江省名校协作体高三联考)抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,且过点(4,4),焦点为F.(1)求抛物线的焦点坐标和标准方程;(2)P是抛物线上一动点,M是PF的中点,求M的轨迹方程.解:(1)抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,且过点(4,4),设抛物线解析式为y2=2px,把(4,4)代入,得16=2×4p,所以p=2,所以抛物线标准方程

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