判别主方向的剪应力指向判别法

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1、1997年3月北京联合大学学报Mar.1997第11卷第1期总27期JournalofBeijingUnionUniversityVol.11No.1SumNo.27教育#教学#教材判别主方向的剪应力指向判别法刘智(北京联合大学电子自动化工程学院,北京100009)[摘要]采用剪应力指向判别平面应力状态两个主应力与主方向之间的对应关系,无需记忆任何规则或约定,直观且准确。[关键词]主应力;主方向;剪应力[分类号]TB301-42在材料力学课程中,对图1所示平面(二向)应力状态单元体,通过解析分析得出任意A斜截面上的正应力RA为Rx+RyRx-

2、RyRA=+cos2A-Sxysin2A(1)22两个主应力即最大正应力Rmax和最小正应力Rmin为RmaxRx+RyRx-Ry22=?()+Sxy(2)Rmin22其方位,即两个主方向A0为tan2A0=-2Sxy/(Rx-Ry)(3)由(3)式确定了两个互相垂直的主方向A01和A02,它们分别对应两个主应力Rmax和Rmin的方位。但是,其中哪一个是Rmax的方位,哪一个是Rmin的方位,尚需判别。当然,最直接的办法是将A01或A02代入(1)式解得Rx,看看是Rmax还是Rmin。不过,还有没有更简便的办法呢?如何判别平面应力状态两个

3、主应力的方位成为材料力学教学中一个小小的难点。在多年的教学实践中,我曾经采用过各种各样的判别方法,但每种方法都有一些规则或约定,故容易记错而搞混,因而教学效果不理想。经过反复研究、比较和试用,最终提出一种称之为/剪应力指向判别法0的方法。它的特点与优点就在于直观,无需记忆任何规则,只要看到应力单元体的图形,便可判断出主应力Rmax和Rmin各自的大致方位。采用这种方法后,取得了非常好的教学效果。1原理既然两个主方向A01和A02互相垂直,那么必然有一个在一、三象限,而另一个在二、四象限。收稿日期:1996-06-17第11卷第1期刘智:判别主

4、方向的剪应力指向判别法87因此,只要能判别两个主应力Rmax和Rmin各自的大致方位,即分别在哪个象限,便可找到与之对应的主方向A01或A02。将图1所示单元体分解为一个只有正应力Rx、Ry的单元体与一个纯剪切单元体(只有剪应力Sxy、Syx)的叠加,如图2所示。只有正应力的单元体其变形如图中虚线所示,一、三象限的变形与二、四象限变形一致。纯剪切单元体的变形亦如图中虚线所示,它由正方形变为菱形,也就是剪应力箭头所指方位(图中为二、四象限)伸长,而与之垂直的方位(一、三象限)缩短。将二者叠加,其变形必是二、四象限相对伸长,一、三象限相对缩短。由

5、应力与应变之间的线性关系,则最大主应力Rmax必在剪应力箭头所指方位,而最小主应力Rmin必在剪应力箭头背离的方位。图1应力单元体图图2应力的分解与变形这样,对任意二向应力状态单元体,无论正应力状况如何,均可根据剪应力的指向判别两个主应力Rmax和Rmin的大致方位即其所在象限。这种方法的实质是由纯剪切单元体的变形来判断最大主应力的方位,而这一变形则是人们所熟知的。2方法与实例采用剪应力指向判别法确定主应力的方位,首先看平面应力单元体剪应力指向(即箭头所指方向)是在哪一象限,并断定最大主应力Rmax即在此方位;然后由式(3)计算得到两个主方向

6、A01和A,哪一个在上述方位则其必为与Rmax对应的方位。02例1见图3。Rx=3MPa,Ry=1MPa,Sxy=3MPaRmax3+13-1224=?()+(3)=2?2=(MPa)Rmin220由图可见,剪应力指向为二、四象限,则Rmax=4所在方位一定在二、四象限。tan2A0=-23/(3-1)=-3图3例1应力单元体88北京联合大学学报1997年3月120b60b2A0=A0=-60b-30b其中-30b在二、四象限,其为Rmax=4MPa所在方位。例2见图4。Rx=3MPa,Ry=-1MPa,Sxy=-2MPaRmax3-13+1

7、223182=?()+(-2)=1?22=(MPa)Rmin22-1182由图可见,剪应力指向为一、三象限,则Rmax=3182MPa所在方位一定为一、三象限。2@(-2)tan2A0=-=13-(-1)图4例2应力单元体45b2215b2A0=A0=225b11215b其中2215b在一、三象限,为Rmax=3182MPa所在方位。若不要求准确计算主应力方位,可采用上述方法直接在单元体上标出主应力的大致方位。例3已知条件同例2,求主应力大小并在单元体上标出其大致方位。主应力求出为Rmax=3182MPa,Rmin=-1182MPa。由图4可

8、见剪应力指向为一、三象限,且Rx>Ry,则Rmax=3182MPa在一、三象限,且偏Rx一侧,标出如图5。采用这种方法,只需看到平面应力单元体的受力情况便可直观地判