chapter2-3镜像法 2015-10-08

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1、习题：郭硕鸿教材，第二章习题9、10、11（第三版P72）思考题见本课件第8、17页上次课回顾对于求解静电场问题：1）需要给定区域内的自由电荷体分布；2）内部绝缘介质之间的分界面上，需要满足边界关系：121212nn3）在非导体的外边界面上，给定每一点的电势，或者电势的面法梯度；4）在涉及导体的表面上，给定导体上的电势，或者给dSQ定导体所带电荷的总电量［f］，Sn则区域内的电场唯一确定。§2.3镜像法静电边值问题具有唯一的解（电场），然而获得这个“唯一解”却有很多种途径。我们上一节所讨论的唯一

2、性定理的意义就在于，它保证了所采用方法的灵活性和解的正确性。通俗地说，不论利用什么方法找到的解，只要能够满足上述的条件，包括微分方程、边界和边值条件，那么这个解就是正确的解。有些问题可以结合简单直观的物理图像，用猜测的办法来获得正确的解。镜象法就是一种有效的试探解的方法，其主要思想是利用区域外部虚设的点（像）电荷来代替来模拟边界面上的感应电荷或极化电荷对所求解区域的电势贡献。1、问题的提出：我们知道，如果一个求解的区域，电荷的分布只存在气内部和分界面上，则区域内部的电势应该由区域内部的电荷和处在边界处的电荷共同决定，即：——（3.1

3、）；如果区域内的电荷分布状况是已知的，那V很容易计算。但对于边界上，由于(x')通常是未知的，因此很难直接求解；幸运的是，在某些特殊情况下（3.1）式中由边界产生的S可以完全等价为处于区域外部的一些虚拟的点电荷对区域内电势产生的贡献，即Simage。需要特别注意的是，由于像电荷处于所求解的区域之外，因此在所求解的区域内自然有：20，因此imageimage的引入不不会使得所求解问题的泊松方程的形式发生变化，本质上是由于所求解区域内自由电荷分布不发生改变而决定的；接下来，只需要调整点电荷的量和具体空间位置，

4、使总的电势满足所给的边界条件，我们就找到了唯一的正确解。例1：这里首先举一个简单的例子，在距离接地无限大导体平面为a处有一点电荷Q，求空间的电势分布。分析：空间的电场为点电荷和导体表面的感应电荷共同激发的；感应电荷又是在总电场的作用下达到静电平衡的；静电平衡条件要求：电场线处处与导体的表面相垂直；导体的表面为一个等势面，因此这一问题的边界条件为金属导体表面：const.另一方面，如果我们考虑这样一个体系，左侧区域内也只有一个点电荷Q，但在导体所处的区域内的-a处，放置一个点电荷-Q，这样就构成一对正负电荷的系统。对于这个

5、体系（导体已经不存在！），在点电荷连线的中垂面上，电力线和此中垂面同样垂直，且此中垂面是零等位面（0）。对比一下两个体系，在求解的区域电荷分布完全相同，所涉及的边界上的电势也完全一样，因此两个点电荷的电势的叠加之后，其在左侧区域的电势就是我们所要找的解。或者说，我们用一等量异号点电荷来等效模拟了原来体系边界上的面电荷对左侧区域电势的贡献。解：区域内的电势可表示为点面1Q点4x2y2za20()根据上面的分析，导体表面的感应面电荷对区域内场的贡献，等效地用处于区域外（导体内）的0,0,a处点电荷Q所

6、产生的电场来替代。这个假想的电荷称为镜象电荷。面镜象这样，问题的解即变为：1Q4x2y2(za)201Q--（3.2）4x2y2(za)20这个解正确与否，只要判断它是否满足所求解区域内的泊松方程和边界条件。注：对于镜象电荷产生的贡献项，1Qimagecharge42220xy(za)利用关系式：210(r0)，r20，所以在导体以外的区域，泊松得到imagechargez0方程中电荷分布没有发生变化。由上面简单的例子，可以总结出寻找虚拟电荷来替代分界面上的感应面电荷／极

7、化面电荷对所求解区域的电势（电场）的贡献，一般要遵循以下几条原则：唯一性定理要求像电荷必定在求解区域之外；像电荷替代了真实的感应电荷或者极化电荷，原来的界面上的电荷就不存在了，整个空间是无界均匀的。对于上述结果，进行以下几个进一步的讨论：a)导体面上的感应电荷密度带入到式（3.2）中，可得导体表面电荷分布：aQ1f02223/2n2(axy)z0b)金属板表面总感应自由电荷QdxdyinducedfaQdxdy2223/22(axy)aQ2rdraQQ20(a2r2

8、)3/2a2r20结论：镜像点电荷的量等于导体平板上的总感应电荷量。c)点电荷Q受到的力：导体表面感应电荷在z>0的区域的电场等价于镜像电荷-Q在z>0区域的贡献（从表达式上看亦是如此）；因此Q受到的电场力即为镜像