Ch.5.5 镜像法-yong

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1、第5章静态场边值型问题的解法5.1静电场的边值型问题5.2唯一性定理5.3直接积分法5.4分离变量法5.5镜像法5.6保角变换法(选学)5.7有限差分法(选学)5.8格林函数及格林第一、第二恒等式(选学)1EMF–Y.Zuo目录5.5镜像法5.5.1平面镜像5.5.2球面镜像5.5.3圆柱面镜像(选学)5.5.4介质镜像2EMF–Y.Zuo镜像法问题求解分布在导体附近的电荷产生的电场场由区域内的电荷、界面上的感应电荷(其分布规律往往未知)共同激发(第120页)εεEV接地金属球3EMF–Y.Zuo镜像法思路在所求场域以

2、外的空间某些适当位置上设置适当的假想电荷(镜像电荷)来替代边界面上的感应电荷镜像电荷与场域内的电荷(原电荷)共同作用满足边界面上给定的场的边界条件将导体移去，代之以所求场域的介质把具有边界的不同介质的空间简化为单一介质空间所求解的边值问题转化为无界空间的问题原电荷和镜像电荷共同作为场源进行求解4EMF–Y.Zuo镜像法规则镜像电荷只能位于所求解的场域以外所得到的解只能在场域内正确镜像电荷的个数、位置、量值以满足场域的边界条件为准则来确定5EMF–Y.Zuo无限大接地导体平面(第121页)xxqzϕqrP(x,y,z)+ε

3、z0εh0h(感应电荷)ooyry−εh0-qq11ϕ=−(导体平面上方)4πεrr0+−222r=(x+h)2+y2+z2r+=(x−h)+y+z−6EMF–Y.Zuo电偶极子ϕ=0(第31页)ϕ>0ϕ<0等位线正交电力线对于φ=contant平面7EMF–Y.Zuo无限大接地导体平面感应电荷面密度ρ=εEs0xx=0∂ϕ=−ε0∂xx=0qh其中=−222223R=y+z2(h+R)2π感应电荷量2π∞−qhQ=ρds=RdRdθsss0022322π(h+R)(第122页)=−q(接地平面上的

4、感应电荷量与镜像电荷量相等)8EMF–Y.Zuo例1.相交成直角的两个接地导体平面边界条件A-qqOA、OB平面h2电位为零h1BO180q-q互成的两个n接地导体平面镜像电荷个数：2n－19EMF–Y.Zuo例2.教材第122页－例5.9单位长度单导线对地电容ρρllC==0+ρϕ−ϕϕlMOMa电位Mr+ρrε=lln−0PϕPh>>a2πεrr0+O−ρ2h−alϕ=lnMh2πεa0ε0N−ρl2πε2πε00C=≈(F/m)02h−a2hlnlnaa10EMF–Y.Zuo(复习)无限长带电直线线电荷密度ρzl

5、ρlE=aρPρ2περ0R为零电位参考点，则ρRRRϕ=E⋅dlPPR=EdρPρRρl=dρP2περ0ρρlR高斯面=ln2περ011EMF–Y.Zuo例3.教材第123页－例5.10单位长度双平行导线对地电容ϕϕ2ρ1lC=+ρl0(第124页)aϕ1−ϕ2−ρl电位1D>>a2ε0h>>aρ2hDlφ=−lnln1222πεa(2)hD+0hε0(2)hD22+aρlφ=−lnln1’2’2−ρ+ρ22πε0Dhll12EMF–Y.Zuo目录5.5镜像法5.5.1

6、平面镜像5.5.2球面镜像5.5.3圆柱面镜像(选学)5.5.4介质镜像13EMF–Y.Zuo接地金属球设镜像电荷q′(第124页)x位于球内N点M(x,y,0)ar′R方法1：qθ金属球电位为零oq′NPyε0取球面任意一点Mqq′dϕ=+=0MD4πεR4πεr′00根据余弦定理222R=a+D−2aDcosθ222r′=a+d−2adcosθ14EMF–Y.Zuo接地金属球[222222]22q(a+d)−q′(a+D)+2acosθ(q′D−qd)=0(∀θ)222222q(a+d)−q′(a+D)=022q′D

7、−qd=0一组解为d=D,q′=q(无意义)另一组解为2aad=,q′=−qDD15EMF–Y.Zuo讨论N点称为P点关于半径为ax的圆的反演点M(x,y,0)2aar′Rd=qDθoq′NPy相似三角形ΔPOMε0ΔMONDad=Dad对于球形导体空腔N点有电荷q′镜像电荷在P点Dq=−q′a16EMF–Y.Zuo接地金属球x方法2：金属球电位为零a取球面两点g、fqqgoq′NfPyϕ=fε4πε(D−a)00q′+=0d4πε(a−d)D0qq′ϕ=+=0g4πε(D+a)4πε(a+d)002aad=,q′=−q

8、DD17EMF–Y.Zuo接地金属球球外任意一点AxArqq′ϕ=+rr14πεr4πεr20102aqθoq′根据余弦定理yε022r=r+D−2rDcosθ1dD22r=r+d−2rdcosθ22222aa(第126)=r+−2rcosθDD18EMF–Y.Zuo接地金属球q−1{()222ϕ=r