高等代数课件(北大版)第七章 线性变换§7.2

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1、§2线性变换的运算§3线性变换的矩阵§4特征值与特征向量§1线性变换的定义§6线性变换的值域与核§8若当标准形简介§9最小多项式§7不变子空间小结与习题第七章线性变换§5对角矩阵7/23/2021数学与计算科学学院一、线性变换的乘积二、线性变换的和§7.2线性变换的运算三、线性变换的数量乘法四、线性变换的逆五、线性变换的多项式7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院1．定义设　　为线性空间V的两个线性变换，定义它们事实上，一、线性变换的乘积的乘积为：则　也是V的线性变换.7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院２．基本性质

2、（1）满足结合律：（2），E为单位变换（3）交换律一般不成立，即一般地，7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院例1.线性空间　　中，线性变换而，即7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院例2.设A、B为两个取定的矩阵，定义变换则　　皆为　　的线性变换，且对　　　　　有7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院则　　也是V的线性变换.二、线性变换的和1．定义设　　为线性空间V的两个线性变换，定义它们的和为：事实上，7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院（3）0为零变换.（4）乘法对加法满

3、足左、右分配律：2．基本性质（1）满足交换律：（2）满足结合律：7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院3．负变换设　为线性空间V的线性变换，定义变换　　为：则　也为V的线性变换，称之为　的负变换.注：7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院三、线性变换的数量乘法1．定义的数量乘积为：则　也是V的线性变换.设　为线性空间V的线性变换，　　　定义k与7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院2．基本性质注：线性空间V上的全体线性变换所成集合对于线性变换的加法与数量乘法构成数域P上的一个线性空间，记作7/23/

4、2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院四、线性变换的逆则称为可逆变换，称　为　的逆变换，记作1．定义设　为线性空间V的线性变换，若有V的变换　使2．基本性质(1)可逆变换　的逆变换　　也是V的线性变换.7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院证：对是V的线性变换.7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院(2)线性变换　可逆　　线性变换　是一一对应.证：设　为线性空间V上可逆线性变换.任取　　　　若　　　　　　则有为单射.其次，对　　　　令　　　　　　则　　　且为满射.故　为一一对应.7/23/2021§7.2线性

5、变换的运算数学与计算科学学院若　为一一对应，易证　的逆映射　也为V的线性变换，且故　可逆，.线性变换，则　可逆当且仅当(3)设　　　　　是线性空间V的一组基，　为V的线性无关.证：　　设于是因为　可逆，由(2)，　为单射，又7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院而　　　　　线性无关，所以故　　　　　　　　　　线性无关.若　　　　　　　　　　线性无关，则它也为V的一组基.因而，对　　　　有即有为满射.7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院线性无关若　　　　　　则有其次，任取　　　　设即由(2)，　为可逆变换.故　为一一对

6、应.从而，　为单射.7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院(4)可逆线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组.线性无关.若证：设　为线性空间V的可逆变换，则有，又　可逆，于是　是一一对应，且故　　　　　　　　　线性无关.由　　　　　线性无关，有7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院当　　　时，规定　　　（单位变换）.五、线性变换的多项式1．线性变换的幂设　为线性空间V的线性变换，n为自然数，定义称之为　的n次幂.7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院①易证注：②当　为可逆变换时，定义　的负整数

7、幂为③一般地，7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院设为V的一个线性变换，则2．线性变换的多项式多项式.也是V的一个线性变换，称　　为线性变换　的7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院注：①在　　中，若则有，即线性变换的多项式满足加法和乘法交换律.②对　　　　　　　　　有7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院证明：练习：设　　为线性变换，若证：对k作数学归纳法.当k=2时，若①对①两端左乘　，得对①两端右乘　，得上两式相加，即得7/23/2021§7.2线性变换的运算数学与计算科学学院②对②两端左乘

8、　，得对①两端右乘　得③④③＋④，得假设命题对　　时