高等数学ppt10.3

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1、§10.3平面与直线1º平面方程经过一点及垂直于一个方向有唯一的一个平面.与平面垂直的方向称为该平面的法向.平面方程:空间中的点在平面上应满足的关系式,称为平面的方程.平面方程的建立:设平面的法向为,且经过点在上任取一点,则有(1)式(1)称为平面的向量式方程由,则有(2)式(2)称为平面的点法式方程(2)式可表示为:(3)即平面方程的方程是一三元一次方程问题:任意一个三元方程(3)是否表示一平面?设中至少有一不为零,不妨设取定,代入(3)有所以满足方程(3),而且方程(3)可以等价地表示为可知:方程(3)表示一以为法向,经过

2、点的平面方程结论:任意一三元一次方程都表示一平面方程,且其系数构成的向量即为其法向量(4)我们称三元一次方程(3)为平面的一般方程从(4)式可进一步得知:(1)若A=0,(4)式为(5)由于其法向量在yz平面上,平面x轴同理可知:表示一平行于y轴的平面表示一平行于z轴的平面(2)若(4)式中的A,B,C0(a)若D=0,则平面经过原点(b)若D0,则(4)式可以表示为(6)其中即为平面在x,y,z轴上的截距.所以(6)称为平面(4)的截距式方程(3)若在(4)式两边同乘其中+,号的选取使则有由于上式可表为(7)(7)故知(7)式中

3、的p表示平面到原点O的距离式(7)称为平面(4)的法式方程综上所述可知:对于平面的一般方程(4)可分别化为(1)点法式方程(2)(反映法向,经过的点P0)(2)截距式方程(6)(反映平面与各坐标轴的截距)(3)法式方程(7)(反映平面与原点O的距离)它们都分别刻画了平面(4)的一些重要特征.例试求经过点P1=(1,2,1),P2=(2,3,1),P3=(1,0,4)的平面的方程解经过的点P0=P3=(1,0,4)构造取所以平面的方程为即解二:将P1,P2,P3代入方程(4)式中,解线性方程组求解解三:任取P=(x,y,z)R3,P

4、P1,P2,P3,则共面例试求经过点P1=(3,2,4),P2=(1,0,3),且垂直于平面2x+5y+z+1=0的平面的方程.解平面2x+5y+z+1=0的法向:由垂直于2x+5y+z+1=0知:可平移到上又也在上,故可取的法向即可取,取P0=P2=(1,0,3)所以平面的方程为即2º两平面的交角,点到平面的距离(1)两平面的交角设可以看到:两平面的交角可用1,2的法向的夹角来计算由于则有说明:(1)12特别当时,1与2重合(2)12(2)点到平面的距离设平面:Ax+By+Cz+D=0则M0到

5、的距离:在上任取一点,则构造则即说明:从图中可以看出:点M0到平面的距离d的另一表达式为其中p为到原点O的距离3º直线经过一点P0=(x0,y0,z0),平行于唯一确定一条直线L,这就是确定直线的两个要素.任取P=(x,y,z)L,则有若记则可得(1)(1)式称为直线L的向量式方程.若设则由(1)式可表为分量形式(2)(2)式称为直线L的参数方程.(2)式进一步可写成(3)上式称为直线L的点向式方程.说明:(1)若中有一为零,则(3)按(2)来理解(2)也称为直线的一个方向数.例(两点决定一直线)试求经M1=(x1,y1,z1),

6、M2=(x2,y2,z2)的直线L方程解只需求出此直线的方向构造则,P0=M1=(x1,y1,z1),故取据直线的点向式方程,知直线L的方程为解例试求经P0=(1,0,2)与平面3xy+2z+1=0平行,且与直线相交的直线方程直线L1:经过点:方向:平面:3xy+2z+1=0的法向:设所求直线的方向则由又L与L1相交共面解,得所以取直线L的方向:所以所求直线的方程解例试求点P0=(1,1,2)与平面上的垂足N,并求出M0到该平面的距离过点P0作平面的垂线L,则L的方程其参数方程:x=1+t,y=1+t,z=2+t代

7、入的方程,解得,所以距离:直线的点向式方程(3)可等价地表为(两平面的交线)于是直线也可以表示为(4)(4)式称为直线的一般方程.直线的一般方程(4)可化为点向式方程(3)直线的一般方程(4)可化为点向式方程(3)可以看出:其中由于1不平行于2,可知中至少有一不为零,1,2不相交或1=2否则不妨设任取z=z0R,解方程组得直线L上的点P0(x0,y0,z0)所以直线L的方向:L经过的点:P0(x0,y0,z0)从而可将直线(4)化为点向式方程(3)例将直线化为点向式方程解令z=0,解得记则所以直线的点向式方程:4º几个问题

8、(1)两直线间的最短距离直线L1:经点P1,方向直线L2:经点P2,方向设T1L1,T2L2使,则且,求间的最短距离d.由于L1L