高等数学-高等数学下册复习提纲

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1、《高等数学（下）》自学、复习参考资料Ⅱ——使用前请详细阅读后面所附的“使用指南”授课教师：杨峰（省函授总站高级讲师）强烈建议同志们以《综合练习》为纲，仔细掌握其中的所有习题内容！各章复习范围：第一部分《矢量代数与空间解析几何》————第八章第一至六节、第八节（即是除了第七节之外都要复习）第二部分《多元函数微积分》————第九章第一至五节（其中第四节只要求“全微分”）————第十章第一至三节、第五节（即是第四、六节暂不作要求）第三部分《级数论》————第十一章都要复习敬告学员——本门课程复习资料我们是根据听课和教研的基本情况结合自己的理解、

2、加工，尽量全面、系统地整理出来，但是也只能供大家参考使用而已，并不能代表考试的任何信息，特此说明。不便之处，敬请原谅！另外，以后象这样的数理学科，众所周知，其难度较大，数字稍作变化，许多同志未必能做出来。因此，这些科目的面授课建议大家都能克服困难，积极地参加，以获取准确的知识和复习信息，否则光是依赖网上复习参考资料，随时有不能一次通过的危险。44第九章二元函数微分法本章重点：1、求定义域2、函数值（反过来求）3、求一阶、二阶偏导数一、二元函数的概念（了解）1、二元函数的定义及定义域设有三个变量x、y、z，如果变量x、y在它的变化范围内每取

3、定一对值时，变量z按照一定的法则，总有确定的值与之对应，则变量z叫做变量x、y的二元函数，记作或其中变量x、y自变量，变量z叫做因变量。自变量x、y的变化范围叫做函数的定义域。二元函数在点处的函数值记为。例1设求。解：例2设44求解：。例3已知：求：。解：令则。例4求下列函数的定义域（1）解：要函数有意义，必须即44∴函数定义域为：（2）解：要函数有意义，必须∴∴函数的定义域为：（3）解：要函数有意义，必须即∴函数的定义域为：44有关平面点集的一些概念：（1）P0的邻域：平面上以点P0为中心，为半径的圆的内部点的全体，即平面点集：（2）内

4、点：设E为平面上的一个点集，如果点P及其某一邻域中的点都属于E，则称点P为集合E的内点。(P74图9-1)（3）边界点：设E为平面上的一个点集，若点Q的任意一个邻域内，既有点集E的点，又有不属于点集E的点，则称点Q为平面E的边界点。平面E的全部边界点所组成的集合称为E的边界。（4）开集、闭集、开区域、闭区域、区域、有界区域、无界区域单连域、多连域等。（略，见P74-75）2、二元函数的几何表示二元函授数的图形通常是空间的一张曲面。3、二元函数的极限设函数在点P0的某邻域内有定义（P0点可除外），点P（x，y）是该邻域内异于P0的任何一点，

5、如果当点P（x，y）以任何方式趋近点P0时，对应的函数值无限接近于常数A，就称A是函数当时的极限，记作或44显然，点P（x，y）→P0的方式是非常复杂的，如p83图9-15所示。（1）极限的定义（略，见P82）（2）二元函数的四则运算法则与一元函数类似。4、二元函数的连续性定义设二元函数在点P0的某邻域内有定义，若则称函数在点P0处连续。连续函数的图形是一张无孔隙，无裂缝的曲面。可以证明，一切二元函数在其定义域区间内是连续的。二、偏导数与全微分（掌握）1、偏导数的概念（了解）定义（P87）（1）二元函数对某点的偏导数，记作：对x的偏导数记

6、为，，，。对x的偏导数记为，，，。44（2）函数的偏导数，记作求偏导的方法：求二元函数偏导数的方法与一元函数的求导方法完全一样，所有一元函数的求导公式和求导法则都能应用。求导时只要记住，对一个自变量求导时，将另一个自变量看作常量就行了。即，求时，将y看作常量而对x求导；求时，将x看作常量而对y求导。例1求下列函数的一阶偏导数：（1）解：44（2）（3）设求：，解：44。2、二阶偏导数设函数，记号：，，，，其中，称为二阶混合偏导数。44注意：二阶混合偏导数和是不同的。是先对x求偏导数，再对y求偏导数。是先对y求偏导数，再对x求偏导数。那么，

7、二阶混合偏导数什么时候相等呢？有如下定理：定理若函数在区域D内的两个二阶混合偏导数及均为连续函数，则它们相等，即=。求二阶偏导数的方法：一阶一阶地求，注意不要搞错顺序。例1设，求二阶偏导数。解：44例2设，求、。解：3、全微分函数的全微分可以写成求全微分的方法：先求出偏导数再写成全微分的形式。4、全微分存在的必要条件与充分条件（1）对于二元函数来说，两个偏导数存在只是函数全微分的必要条件而不是充分条件。（2）全微分存在的充分条件是：函数的偏导数、在处存在且连续（P99定理2）。44例1求函数的全微分。解：。例2求函数在点（2，1）的全微分

8、。解：∴44∴三、复合函数求导法（掌握）在一元函数中，如果，则对复合函数的导数有公式（复合函数求导公式）二元函授数中，设，而，则是x、y的复合函数。其中u、v是中间变量。这些变量之间的关系可二