高等数学下册复习提纲

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1、高等数学下册复习提纲第八章多元函数微分学本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列):复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆）无条件极值（☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆）隐函数（组）求导（☆☆☆）一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆）方向导数、梯度计算（☆☆）重极限、累次极限计算（☆☆）函数定义域求法（☆）1.多元复合函数高阶导数例设其中f具有二阶连续偏导数，求.解，析1）明确函数的结构(树形图)这里，那么复合之后是关于的二元函数.根据结构图，可以知道：对的导数，有几条线通到“树梢”上的，结果

2、中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”.2）是的简写形式，它们与19的结构相同，仍然是的函数.所以对求导数为.所以求导过程中要始终理清函数结构，确保运算不重、不漏.3）f具有二阶连续偏导数，从而连续，所以.练1.设其中f具有二阶连续偏导数，求.2.设其中f二阶可导，具有二阶连续偏导数，求.2.多元函数极值例1.求函数的极值.解（1）求驻点.由得两个驻点，，（2）求的二阶偏导数，，，（3）讨论驻点是否为极值点在处，有，，，，由极值的充分条件知不是极值点，不是

3、函数的极值；在处，有，，，，而，由极值的充分条件知为极大值点，是函数的极大值.析1）这是二元函数无条件极值问题.192）解题步骤：第一步是求出驻点---一阶偏导数为零的点；第二步求目标函数的二阶导数；第三步求出驻点的判别式，判断是否为极值点以及极大极小.2.将正数12分成三个正数之和使得为最大.解：令，则解得唯一驻点，故最大值为析1）题目是为了熟悉条件极值的求法---拉格朗日乘数法.这里拉格朗日函数也可写成.2）由于目标函数是乘积形式，而其和为常数，可以利用均值不等式.方法较为简单，但没有拉格朗日乘数具有一般性.3.求函数

4、在圆上的最大值与最小值.解先求函数在圆内部可能的极值点.令解得点，而.再求函数在圆周上的最值.为此做拉格朗日函数，解之得，而.19比较三值可知，在圆上函数最大值为，最小值为.析1）在闭域上求函数最值只需找出在开区域和边界上的可疑点，最后比较函数值即可.而不需要判断是否为极值点.2）在求方程组的解时，要注意方程的对称性，必要时也可做换元处理，以简化计算.3）本题在边界上的最值也可考虑写出圆周的参数方程，将问题转化为一元函数的最值问题.练1.求的极值.2.证明函数有无穷多个极大值，但无极小值.3.在椭球面的第一卦限求一点，使该

5、点的且平面与三坐标面围成的四面体的体积最小.4.求抛物线与直线之间的距离.3.偏导数的几何应用例1.求曲面平行于平面的切平面方程.解令，曲面在点处的法向量为，已知平面的法向量为，而切平面与已知平面平行，所以，从而有，（1）又因为点在切面上，应满足曲面方程（2）(1)、（2）联立解得切点为及，所以所求切平面方程为：，或.19析1）由于已经给出平面的法向量，关键是求出切点，直接利用平面的点法式方程即可.2）法向量的求法:由曲面方程得.如果曲面方程为,那么,或.对应的法向量就为或.3）注意不要把写成，它们的分量是对应成比例而不一

6、定相等，否则将得出错误结论.4）两个平面要独立写出，千万不要用大括号联立.还有就是万万不可把平面方程写成了直线啊.2.求曲线，在点处的切线及法平面方程.解曲线方程为，取为自变量，则和看作的函数，即.那么曲线的切向量.方程组两边对求导，得，解得.将点代入，得切向量为.所以曲线在点处的切线为，法平面为.析1）曲线方程为参数形式19在点处对应参数为，那么曲线在处的切向量为.由直线的对称式（点向式）方程可得切线方程为，法平面方程为.2）若曲线方程是一般式(隐函数形式)，则，那么曲线在处的切向量为.由于此公式较为复杂，我们经常从三个

7、变量中选取一个作为参数，剩余两个看作其函数例题中的解法就是如此.练1.设曲线绕轴旋转一周得到一旋转曲面，求该曲面在点指向外侧的单位法向量.2.求椭球面上某点处的切平面的方程，使过已知直线.3.在曲线上求点，使该点处的切线平行于平面.4.求曲线在点处的切线方程.194.隐函数(组)导数例1.设，求，.解方程两端对求偏导数，得即=；方程两端对求偏导数，得即=.析当然题目也可用公式法求隐函数的偏导数，那是将看成是三个自变量，，的函数，即，，处于同等地位.方程两边对求偏导数时，，是自变量，是，的函数，它们的地位是不同的.2.设，求

8、.解方程组两端对求导，得即则，.同样方程组两端对求导，得,.析1)方程组确定的隐函数个数等于方程的个数,而每个函数自变量的个数为“方程组中所有变量个数”减“方程的个数”.2)大家解线性方程组时可以用代入法或直接使用求解公式.19练1.设方程确定隐函数，求和.2.设函数由方程确定,求和.3.设,而是由方程