金融衍生工具 汪昌云 著 第15章

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1、第十五章布莱克—斯科尔斯(Black-Scholes)期权定价理论第一节股票价格分布的假设假设股票价格的波动为布朗运动，在离散情况下，则为随机游走序列：股票价格在一个很短的时间内的变化μ:股票的期望收益率;σ:股价的年波动率为几何布朗运动，其中2第一节股票价格分布的假设对数正态分布：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么我们就定义这个随机变量本身服从对数正态分布股票的对数价格（收益率）服从正态分布股票价格服从对数正态分布3第一节股票价格分布的假设对数正态分布图4第二节Black-Scholes期权定价公式的假设条件股票价格满足随机微分方程：无卖空限制没有交易费用和

2、税收，市场是无摩擦的所有证券都是可以无限细分的5第二节Black-Scholes期权定价公式的假设条件在期权存续期间，标的股票没有红利发放不存在无风险套利的机会无风险利率已知，且不会变化，即为常数rBlack-Scholes期权定价公式针对欧式期权6第三节Black-Scholes期权定价公式的推导思路基本思路：衍生品和基础产品受到同样不确定因素的影响适当组合消除不确定性，构造无风险组合该组合的收益率应为无风险收益率r7Black-Scholes-Merton微分方程：利用看涨期权及其基础产品价格之间的关系解出微分方程即可得到Black-Scholes期权定价公式第三

3、节Black-Scholes期权定价公式的推导思路8Black-Scholes看涨期权公式：其中：，第三节Black-Scholes期权定价公式的推导思路9第三节Black-Scholes期权定价公式的推导思路利用买卖权平价公式，可以得到Black-Scholes看跌期权公式：其中：，10对于发放股利的股票期权的定价其中，，d是股利用无风险利率折现的现值第四节Black-Scholes期权定价公式的局限性11对于美式期权的定价美式期权定价可以采用二叉树等其他方法对于一些特殊的美式期权定价，也可以使用修正后的Black-Scholes期权定价公式第四节Black-S

4、choles期权定价公式的局限性12无红利发放的美式看涨期权无红利发放的美式看涨期权永远都不应该提前执行，而总是应该到期再执行。因此，对于无红利发放的美式看涨期权，可以直接用Black-Scholes定价公式定价。第四节Black-Scholes期权定价公式的局限性13有红利发放的美式看涨期权有红利发放的美式看涨期权，只可能在红利发放的除权日之前被提前执行，并且要满足此次红利足够大，且除权日距期权到期的时间又足够短的条件计算两种欧式期权价格中的较大者和该美式期权标的物、执行价格一致，到期日又相同的欧式期权和该美式期权标的物、执行价格一致，在股票最后一次除权日之前到期的

5、欧式期权第四节Black-Scholes期权定价公式的局限性14第五节隐性波动率Black-Scholes定价模型假设波动率是常数事实上波动率本身也是变化的，且存在积聚性：当上一个时段的波动率较大时，紧随的下一个时段的波动率通常也是较大的隐性波动率，又叫隐含波动率，是度量标的资产收益率波动性的方法之一15隐性波动率，是将市场上的期权交易价格代入Black-Scholes期权定价公式中，反推出来的波动率数值通过迭代的方法可以求得隐性波动率隐性波动率和期权价格一一对应，因此交易者和经纪商经常以隐性波动率来报价对于同一标的股票，利用交易活跃的期权品种算出标的股票的隐性波动率，

6、为基于同一标的股票的非活跃期权定价第五节隐性波动率16其他度量波动率的方法：用历史波动率估计期权存续期股票波动率使用高频数据计算日内收益的波动率由于波动率的群聚性质，可以使用GARCH模型来预测未来期权存续期间股票收益的波动率，这是目前最常使用的方法第五节隐性波动率17第六节默顿(Merton)的期权定价思路Merton在期权定价领域的主要贡献：Black-Scholes期权定价公式假设无风险利率r是常数，实际中无风险收益率呈现随机波动的特征，Merton提出了更贴近现实的可变利率模型。Black-Scholes公式假设标的股票在期权有效期内不分红，而现实中股票分红是存在

7、的，除权现象时有发生，Merton通过一种连续分红方案解决了标的股票支付红利的期权定价模型18第六节默顿(Merton)的期权定价思路基于有收益的基础资产的期权定价思路（以股票期权为例）：以q表示股息率（连续复利），股息的支付将引起股票的价格下跌在以下情况下，股票价格的概率分布相同0时刻，股票价格为S0，以q的股息率连续支付股利。0时刻，股票价格为，不支付股利。将原公式中的S0以代替，则可以得出修正后的公式19股指期权定价其中，，q表示股息率，且是连续复利的第六节默顿(Merton)的期权定价思路20货币期权（外汇期权）定价其