金融衍生工具 汪昌云 著 第14章

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1、金融衍生工具第十四章第十四章二叉树期权定价1金融衍生工具第十四章引言二叉树期权定价模型，即通过构造二叉树图(binominaltree）标明股票价格在期权有效期内可能遵循的路径并基于该图建立包含标的资产及期权头寸的无风险资产组合来确定期权价格。2金融衍生工具第十四章第一节单时段二叉树定价模型二叉树模型的假设：资本市场是完全竞争和无摩擦的（不存在交易费用和税收）不存在无风险套利机会股票和期权是无限可分的股票在下一期的价格只有两种可能，要么上升要么下跌。3金融衍生工具第十四章1.1计算期权的价格——一个实例[例14-1]假设一种股票当前价格为100元，三个月为一期，

2、且已知3个月后的价格可能为120元或者80元。假设股票不支付红利，无风险年利率为12%（连续复利），我们要对一个3个月后可以以110元的执行价格买入股票的欧式看涨期权进行定价。若到期股票价格为120元，则期权的价值将是10元；若股票价格为80元，则期权的价值将是0。如图14.1所示：根据模型假设市场中不存在无风险套利机会，因此投资者无法利用期权和股票组合来套利，也就是说我们可以利用期权和股票来构造一个无风险证券组合，使其在3个月后的价值是确定的。4金融衍生工具第十四章1.1计算期权的价格——一个实例考虑这样一种有价证券组合——包含一个△股股票多头和一个看涨期权的

3、空头，则该证券组合到期的总收益为：有：120△-10=80△解得△=0.25无论股票价格是上升还是下降，期权到期时组合的价值总20元。而我们假设对投资者而言不存在无风险套利机会，故这个无风险证券组合的收益率必定为无风险利率解得f=5.6，即期权的当期价格为5.6元。5金融衍生工具第十四章1.2合成期权（组合复制法）考虑如下两个投资组合：投资组合A：买入一单位股票的看涨期权，成本为f，执行价格为X投资组合B：买入△股股票，同时以无风险利率借入Ｂ的现值（卖空为面值B的债券）如果我们要用投资组合B来复制期权，则投资组合A和B的损益应相同：当股价上升时有：120△－Ｂ＝

4、10当股价下跌时有：80△－B＝0所以△=0.25，B=20因为投资组合A和B的收益相同，所以成本也应该一样。故：，和前者一样。6金融衍生工具第十四章1.3错误定价的套利期权被过高定价：假设市场上该期权的价格为8元，此时我们可以通过出一个期权的同时，买入0.25股股票并以无风险利率借款19.4元。此时我们的现金流为：8元-0.25100元+19.4元=2.4元其中8元为卖出一个期权所获收益，0.25100元为买入股票的成本，19.4元为无风险利率的借款。我们的净收益2.4元恰好为期权的理论价格与市场价格之间的差异。到期时，我们的损益如下表所示：7金融衍生工具第十

5、四章1.4定价公式的一般形式假设一个无红利支付的股票的当前价格为S，无风险年利率为r（连续复利），该股票的一个执行价格为X的期权的当前价格为f，期权的有效期为T。根据假设在期末时股票价格要么上涨到Su，上升的比率为u1，此时期权价值即期权收益为，要么以下跌到Sd，下跌的比率为1-d，此时期权价值即期权收益为。如图14.2所示：8金融衍生工具第十四章第二节风险中性定价原则风险中性概率：期权的价格：9金融衍生工具第十四章第三节多时段二叉树定价假设股票现在的价格为100元，不支付红利，以三个月为一期，三个月内股价可能上涨到原来的1.2倍也可能下跌到原来的0.8倍，无风

6、险利率为12%（连续复利），试求6个月后到期的执行价格为110元的欧式看跌期权价格。如下图所示：10金融衍生工具第十四章第三节多时段二叉树定价单时段二叉树模型或两期二叉树模型都存在一个很大的缺陷：期权到期时股票的价格只有两个或三个不同的值，这显然是与现实不相符的。这样利用单时段或者两期二叉树定价模型计算出来的期权价格可能并不精确。为了解决这个问题，我们将引入多时段二叉树定价模型，即将期权的期限划分为更多的时段。如下图所示：11金融衍生工具第十四章第四节二叉树与美式期权定价由于美式期权可能提前行权，因此在每个结点我们要决定是否提前行权：在不支付红利的情况下，美式看

7、涨期权实质上与欧式看涨期权一致。我们可以从看涨期权的价值角度来分析，看涨期权的价格可以被分解为内在价值(Intrinsicvalue)和时间价值(Timevalue)两个部分。所谓内在价值，即max(S－X,0)，它是期权立即执行所获得的收益；而时间价值是期权价格高于其内在价值的部分。12金融衍生工具第十四章第五节股利与二叉树定价当股票支付红利时，二叉树会变得相当复杂。为了简化问题，我们假定股票有一个连续的股利收益率，这些股利被继续投资到股票中。对应的期权计算公式为：对应的风险中性概率为：13金融衍生工具第十四章第五节股利与二叉树定价现实中红利的支付往往不是连续

8、的，因此我们要进一步放松