随机信号处理教程 第5章 窄带系统和窄带随机信号

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1、随机信号处理教程——献给进入信息领域学习的你！随机信号处理教程第1章概率论基础第2章随机过程第3章随机过程的功率谱密度第4章随机信号通过线性系统第5章窄带系统和窄带随机信号第6章随机信号通过非线性系统第7章马尔可夫过程第5章窄带系统和窄带随机信号12345窄带系统及其特点窄带随机信号的基本概念窄带高斯随机信号分析窄带随机信号包络的自相关特性正弦信号叠加窄带高斯噪声的包络和相位的分布5.1窄带系统及其特点系统的中心频率远大于系统的带宽，即，这样的系统称为窄带系统设窄带系统输入为，输出为，和得拉普拉斯变换分别为和。当系统结构已知时，其

2、系统函数为=(5.1.1)上式中，分母多项式为零时方程的根，，…，，称为系统函数的极点，分子多项式为零时方程的根，，…，称为系统函数的零点。5.1窄带系统及其特点图5.1窄带系统的幅频特性图5.2窄带对称系统函数的极点分布如果系统是窄带的，且其极点簇关于中心线＝对称，则该系统为窄带对称系统。窄带对称系统的幅频特性和它的极点分布分别如图5.1和图5.2所示。5.1窄带系统及其特点对于任何窄带对称系统，系统的冲激响应函数总可以表示为=(5.1.8)也就是说可以分解成慢变化部分和快速变化部分，如图5.4所示。被称为系统冲激响应的包络。图

3、5.4窄带对称系统的冲激响应5.1窄带系统及其特点由求对进行拉普拉斯反变换得到求出的极点分布图求出系统的系统函数去掉一个极点族，把余下的极点族沿虚轴平移，使其极点族中心对称线与实轴重合5.1窄带系统及其特点包络线定理给了我们一个求解窄带对称系统冲激响应的简单办法。特别是在许多情况下，我们只关心的包络，这时，包络线定理就显得更重要了。在这种时候，并不需要首先从求，然后设法整理成式(5.1.8)那样的形式来求得，而可以用包络线定理，从的s平面导出的s平面，然后根据式(5.1.11)求得，省去很多麻烦的运算。5.2窄带随机信号的基本概念

4、定义：一个平稳随机信号，若它的功率谱密度函数具有如下形式(5.2.1)而且信号的带宽满足，则称此随机信号为窄带随机信号。为窄带随机信号的中心频率。图5.9窄带随机信号的功率谱密度5.2窄带随机信号的基本概念可以把窄带随机信号表示为(5.2.2)式中是窄带随机信号的慢变幅度，称为窄带随机信号的包络；是信号的慢变相位，称为窄带随机信号的随机相位，它们都是随机过程。我们称式(5.2.2)为准正弦振荡。图5.10窄带随机信号的样本函数5.2窄带随机信号的基本概念根据电路理论的知识，我们可以用幅度衰减的旋转矢量来表示一个衰减的正弦振荡。这样

5、，总和旋转矢量就是这些幅度衰减的旋转矢量之和。这些旋转矢量都是相同的角速度，并有相同的衰减规律。若坐标系以旋转，则旋转矢量可以画成并不旋转的矢量。如图5.12所示。图5.12随机衰减矢量叠加示意图5.2窄带随机信号的基本概念1)和分别是宽平稳随机过程，且和是联合宽平稳的2)和的均值都为0，即3)和的自相关函数相等，即4)和的功率谱密度相等，即5)和的平均功率相等，它们也等于窄带随机信号的平均功率，即6)7)8)5.3窄带高斯随机信号分析假设被研究的随机变量可以表示成大量独立随机变且之和，其中每一个别随机变量对于总和只起微小的作用，

6、则这个随机变量服从高斯分布。因此，和都服从高斯分布，且相互独立。即所以，和的一维概率密度函数分别为(5.3.4)(5.3.5)和的二维联合概率密度函数为(5.3.6)5.3窄带高斯随机信号分析随机过程的一维概率密度函数为(5.3.15)式(5.3.15)表明，窄带高斯信号的包络的一维分布服从瑞利分布。随机过程的一维概率密度函数为令(5.3.16)式(5.3.16)表明，窄带高斯信号的相位的一维分布是均匀分布的。5.3窄带高斯随机信号分析随机过程的一维概率密度为(5.3.21)(5.3.22)式(5.3.22)表明，窄带高斯随机信号

7、包络平方的一维分布服从指数分布。特别地，当时，有(5.3.23)此时，其均值和方差分别为5.4窄带随机信号包络的自相关特性综上所述，自相关性的强弱只取决于的包络，而与其高频振动项无关。这样一来，利用窄带对称系统的包络线定理的概念，如果用冲激响应的低通系统等效替代窄带系统，那么，该系统在白色过程的作用下，其输出响应必为。因此，有(5.4.2)其中，为的包络自相关函数，是冲激响应的包络的自相关积分。(5.4.3)5.4窄带随机信号包络的自相关特性结论：白色过程通过窄带线性系统后，输出准正弦过程包络的自相关函数等于该过程的自相关函数的包

8、络。即(5.4.9)0图5.16窄带系统及其等效低通系统的传输特性5.5正弦信号叠加窄带高斯噪声的包络和相位的分布正弦信号与窄带高斯噪声的叠加成为令则5.5正弦信号叠加窄带高斯噪声的包络和相位的分布的两个正交分量和为它们是独立且同分布的，即和都服从