讨论主题－窄带随机信号

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1、2009－2010年度秋季学期讨论课孙应飞（一）窄带随机信号的表示方法1．确定性窄带信号的表示给定一确定性信号x(t),−∞

2、=V(t)cos(ωt+φ(t))0=V(t)cosφ(t)cosωt−V(t)sinφ(t)sinωt2πf=ω0000=x(t)cosωt−x(t)sinωtc0s0其中：V(t)=x2(t)+x2(t)x(t)=V(t)cosφ(t)csc⇒xs(t)x(t)=V(t)sinφ(t)φ(t)=arctgsx(t)c2．实窄带平稳随机信号的表示如果一个实平稳随机信号ξ(t)的功率谱密度S(f)的非零值只限于f−f

3、号，称f为它的中心频率，2f为它的带宽。0c关于窄带实平稳随机信号，我们有以下的定理。定理：若ξ(t)是窄带实平稳随机信号，它的功率谱密度为S(f)，在频率范ξ围f−f

4、fc并且有：222E{[ξ(t)]}=E{[x(t)]}=E{[x(t)]}cs证明：（1）构造一随机信号η(t)，η(t)的功率谱密度为：4S(f),f>0ξSη(f)=0,f≤0即：S(f)=4S(f)U(f)（A）ηξ其中U(f)为单位阶跃函数。式（A）表示了随机信号ξ(t)输入一线性系统，输出为η(t)的功率谱之间的关系，线性系统的转移函数为：H(jf)=2U(f)=1+sgn(f)1因此输出信号η(t)可以表示为η(t)=ξ(t)+jξˆ(t)（B）其中信号ξˆ(t)可以理解为：有一线性系统，它的转移函数为H(f)=−jsgn(f)，2009

5、－2010年度秋季学期讨论课孙应飞输入为ξ(t)，输出即为ξˆ(t)。1由于对应于转移函数H(f)=−jsgn(f)的冲激响应为h(t)=，因此有：πt+∞1+∞ξ(u)1ξˆ(t)=∫h(t−u)ξ(u)du=∫du=*ξ(t)−∞π−∞t−uπt即ξˆ(t)为ξ(t)的Hilbert变换。（B）式所表示的信号η(t)称为与ξ(t)相联系的解析信号。22（2）由于：H(jf)=−jsgn(f)⇒H(jf)=−jsgn(f)=1，因此有：2S(f)=H(jf)S(f)=S(f)⇒R(τ)=R(τ)ξˆξξξˆξS(f)=−jsgn(f)S(f),S(f)=S(

6、f)=jsgn(f)S(f)ξˆξξξξˆξˆξξ因此可得：−S(f)=S(f)⇒−R(τ)=R(τ)ξˆξξξˆξˆξξξˆ−j2πf0t（3）写出ξ(t)的分解表达式：用e和η(t)相乘，有：−j2πf0tη(t)e=[ξ(t)+jξˆ(t)][cos2πft−jsin2πft]00=[ξ(t)cos2πft+ξˆ(t)sin2πft]+00+j[−ξ(t)sin2πft+ξˆ(t)cos2πft]00=ˆx(t)−jx(t)cs即：x(t)=ξ(t)cos2πft+ξˆ(t)sin2πftc00xs(t)=ξ(t)sin2πf0t−ξˆ(t)cos

7、2πf0t由此可得：ξ(t)=x(t)cos2πft+x(t)sin2πftc0s0ξˆ(t)=xc(t)sin2πf0t−xs(t)cos2πf0t（4）研究x(t),x(t)的统计特性：cs2009－2010年度秋季学期讨论课孙应飞先求x(t),x(t)的相关函数及互相关函数，然后导出功率谱密度函数的表达cs式。R(t,t)=E{x(t)x(t)}=E{[ξ(t)cos2πft+ξˆ(t)sin2πft]⋅xc12c1c2101101⋅[ξ(t)cos2πft+ξˆ(t)sin2πft]}202202=R(t,t)cos2πftcos2πft+R(t

8、,t)sin2πftsin2πft+ξ