2020版高考数学复习第九章平面解析几何第9讲（第2课时）定点、定值、范围、最值问题练习

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1、第2课时　定点、定值、范围、最值问题一、选择题1.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)A.B.[－2，2]C.[－1，1]D.[－4，4]解析　Q(－2，0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.答案　C2.(2017·石家庄模拟)已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足

2、

3、＝1，且·＝0，则当

4、

5、取得最小值时点P到

6、双曲线C的渐近线的距离为(　　)A.B.C.4D.5解析　由·＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求

7、MP

8、的最小值可以转化为求

9、OP

10、的最小值，当

11、OP

12、取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.答案　B3.已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为(　　)A.2B.2C.8D.2解析　根据已知条件得c＝，则点(，)在椭圆＋＝1(m＞0)上，∴＋＝1，可得m＝2.答案　B4.若双曲线－＝1(

13、a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是(　　)A.[3，＋∞)B.(3，＋∞)C.(1，3]D.(1，3)解析　依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x＋2＝0.∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝≥3a，∴e＝≥3.答案　A5.(2016·丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则

14、AB

15、的最大值为(　　)A.2B.C.D.解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋

16、t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x1＋x2＝－t，x1x2＝.∴

17、AB

18、＝

19、x1－x2

20、＝·＝·＝·，当t＝0时，

21、AB

22、max＝.答案　C二、填空题6.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________.解析　由条件知双曲线的焦点为(4，0)，所以解得a＝2，b＝2，故双曲线方程为－＝1.答案　－＝17.已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，

23、

24、＝1，且·＝0，则

25、

26、的最小值是________.解析　

27、∵·＝0，∴⊥.∴

28、

29、2＝

30、

31、2－

32、

33、2＝

34、

35、2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故

36、

37、min＝2，∴

38、

39、min＝.答案　8.(2017·平顶山模拟)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.解析　双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2.答案　(1，2]三、解答题9.如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且·＝－1.(1)求椭圆E的方程；(2)

40、设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.解　(1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b).又点P的坐标为(0，1)，且·＝－1，于是解得a＝2，b＝.所以椭圆E方程为＋＝1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，所以，x1＋x2＝－，x1x2＝－.从而，·＋λ·＝x1x2

41、＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＝－－λ－2.所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.此时，·＋λ·＝－3为定值.当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时·＋λ·＝·＋·＝－2－1＝－3，故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.10.(2016·浙江卷)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1).(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.解　(1)设直线y

42、＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0.故x1＝0，x2＝－，因此

43、AM

44、＝

45、x1－x2

46、＝·.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足

47、AP

48、＝

49、AQ

50、.记直线A