高考数学复习第九章平面解析几何第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题学案理新人教b版

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1、第2课时　定点、定值、范围、最值问题考点一　定点问题【例1】(2018·临汾一中月考)已知椭圆C：＋y2＝1(a>0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2＋y2＝相切.(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点.(1)解　∵直线过点(a，0)和(0，1)，∴直线的方程为x＋ay－a＝0，∵直线与圆x2＋y2＝相切，∴＝，解得a2＝2，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明　当直线

2、AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由k1＋k2＝2得＋＝2，解得x0＝－1.当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，得x1＋x2＝，x1·x2＝，由k1＋k2＝2⇒＋＝2⇒＝2，即(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)⇒(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，即(1－k)(m2－1)＝－km(m－1)，由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km⇒k

3、＝m＋1，即y＝kx＋m＝(m＋1)x＋m⇒m(x＋1)＝y－x，故直线AB过定点(－1，－1).综上，直线AB过定点(－1，－1).规律方法　圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.【训练1】(2018·西安模拟)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上的点T(2，)到点F1，F2的距离之和等于4.(1)求椭圆

4、C的方程；(2)若直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于E，F两点，A为椭圆C的左顶点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.问：以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.解　(1)由椭圆上的点T(2，)到点F1，F2的距离之和是4，可得2a＝4，a＝2.又T(2，)在椭圆上，因此＋＝1，所以b＝2.所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)因为椭圆C的左顶点为A，所以点A的坐标为(－2，0).因为直线y＝kx(k≠0)与椭圆＋＝1交于E，F两点，设点E(x0，y0)(不妨设x0>0)，则点

5、F(－x0，－y0).由消去y，得x2＝，所以x0＝，则y0＝，所以直线AE的方程为y＝(x＋2).因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，令x＝0，得y＝，即点M.同理可得点N.所以

6、MN

7、＝＝.设MN的中点为P，则点P的坐标为.则以MN为直径的圆的方程为x2＋＝，即x2＋y2＋y＝4，令y＝0，得x2＝4，即x＝2或x＝－2.故以MN为直径的圆经过两定点P1(2，0)，P2(－2，0).考点二　定值问题【例2】(2018·长春模拟)已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，以抛物线E上点P(2，y0

8、)为圆心的圆与直线y＝相交于M，N两点且

9、

10、＝

11、

12、＝

13、

14、.(1)求抛物线E的方程；(2)设直线l与抛物线E相交于A，B两点，线段AB的中点为D.与直线l平行的直线与抛物线E切于点C.若点A，B到直线CD的距离之和为4，求证：△ABC的面积为定值.(1)解　由抛物线的定义得

15、PF

16、＝y0＋，点P到直线y＝的距离为y0－，∵圆P与直线y＝相交于M，N两点，且

17、

18、＝

19、

20、，∴＝，即cos∠PMN＝，∴∠PMN＝30°，∴点P到直线y＝的距离为

21、

22、，即

23、

24、＝2，∵

25、

26、＝

27、

28、，∴y0－＝，得y0＝p，将点(2，p)代入抛物

29、线方程，得p＝2，∴抛物线E的方程为x2＝4y.(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程，得x2－4kx－4b＝0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，则点D(2k，2k2＋b).设与直线l平行且与抛物线E相切的直线方程为y＝kx＋m，代入抛物线方程，得x2－4kx－4m＝0，由Δ＝16k2＋16m＝0，得m＝－k2，点C的横坐标为2k，则C(2k，k2)，∴直线CD与x轴垂直，则点A，B到直线CD的距离之和为

30、x1－x2

31、，即

32、x1－x2

33、＝4，∴＝4，则

34、16k2＋16b＝32，即b＝2－k2，∴

35、CD

36、＝

37、2k2＋b－k2

38、＝2，∴S△ABC＝

39、CD

40、·

41、x1－x2

42、＝×2×4＝4，即△ABC的面积为定值.规律方法　圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引起变量法：其解题流程为→　↓→　↓→【训练2】(2016·北京卷