对策论_运筹学

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1、习题解答1.已知矩阵博弈局中人I的赢得矩阵如下，求最优纯策略及博弈值。49430-1-22-2(1)4456(2)-21-33-657662-1-50-4_4538_12-2-1-2_4943'344564解：⑴⑸7665所以（购,0

2、）,V二5_4538_35968_0-1(-2)2(-2)「-2-21-33-6-6⑵2-1-50-4-512(-2)-1(-2)_-222・23-2所以（。］,03），（0,05），（。3，03），（购，05）」二-22.甲乙两国进行乒乓球团体赛，每国由三个人组成一个队参加比赛。甲国的人员根据不同的组合可组成4个队，乙国的人

3、员可组成3个队，根据以往的比赛记录，已知各种组成队法相遇后甲国的得分如下表所示1队2队3队1队・51■72队3243队8・1・84队・2・16问双方应各派哪个队上场是最优决策?解：_-51-1-73⑵428-1-8—8所以(a2，02)‘V=2-2-16-2826答：双方应均派第2队出场3.对任意一个m行n列的实数矩阵A二（ay），试证有下式成立maxminaH

4、axminaSi

5、为{(A,B),(A,C),(B,C)}乙公司的策略集为{A,B,C}解：0.70」0.80.1最优策略为(0,02)ABC(A,B)■(0.7)0.750.7_0.7甲的赢得矩阵为：(A,C)(0.7)0.70.750.7(B,C)0.60.7170.7170.60.70.750.75所以甲选(A,B)或(A,C),占70%份额。乙选A,占30%份额5.一个病人的症状说明他可能患a,b,c三种病中的一种，有两种药C,D可用，这两种药对这三种病的治愈率为病药abcC0.50.40.6D0.70.10.8问医生应开哪一种药才能最稳妥?0.5(0.4)0.610

6、.40.70.40.8答:应开C药较为稳妥.6.设矩阵博弈局屮人I的赢得为-33A=2-302(1)当局中人I采用策略x=(0.2,0.5,0.3)时，II应采用什么策略？(2)当局中人II采用策略y=(5/7,2/7)时,I应釆用什么策略？(2)x和y是否是最优策略?为什么?若是，试给出另一个局中人的最优策略和博弈值。解：⑴设II的策略为Y=(y19y2),则0.2x(-3)+0.5x2+03x0=0.40.3x3+0.5x(-3)+0.3x2=-0.3min0.4儿-0.3y2s・t・y】+y?i得:Yi=0,y2=l,Vl=-0.3,所以最优解为(0,

7、l),V=-0.3(2)设II的策略为X=(X1,X2,X3),则5247x2+7x(-3)=7°4x24944max-—xf+—x9+—x.7177'SetX]+兀2+兀3=1所以x,=0,x2g[0,1],兀3=1一旺，即I的最优策略为(0,。,1一a),aw[0,1],V=4/733⑶对于(xi,X2,X3)=(0.2,0.5,0.3),因为兀","=(0,1),但弭=3北£阳兀=一3/=1/=1所以(0.2,0.5,0.3)不是最优解.对于(yi,y2)=(5/7,2/7),因为%工0,X*二(0,a,l-。)满足：0x(-3)+2xa+0x(l-a

8、)=2aOx(3)+(—3)x^z+2x(l—oc)—2—5a2令2q=2—5a,得a=—7所以(5/7,2/7)是II的最优解，对应I的最优策略为(0,2/7,5/7),V=4/76.给定矩阵博弈局屮人I的赢得为「53rA=-133311试验证x*=(l/2,1/2,0)和y*=(l/4,0,3/4)分别是局中人I和II的最优混合策略，井求博弈值。解:可验证满足：(1)若兀;H0,则工。汀；=V;j=⑵若y；HO,则工知兀:f=l⑶若工匂y；则兀:=0；j=i⑷若工®jX；>v,则y；=o/=1且V=2&己知矩阵I専弈的赢得矩阵如下，试用线性方程组法求最

9、优混合策略及博弈值。226~「012~(1)2102