[精品]聚类分析

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1、聚类今祈聚类分析法：（此处只选用平均谱系聚类法）聚类分析也称群分析、点群分析，他是研究分类的一种多元统计方法。例如，我们可以根据学校的师资、设备、学生的情况，将大学分成一流大学，二流大学等；国家Z间根据其发展水平可以划分为发达国家、发展屮国家；1'1然界牛物可以分为动物和植物等等。这些就是一些分类。那么分类根据什么分呢？1、基本思想我们所研究的样品或指标（变量）Z间存在程度不同的相似性（亲疏关系）。于是根据一批样品的多个观测指标，具体找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，以这些统计量为划分类型的依据。把一些相似程度较大的样品（或指标）聚合为一类，把另外一些彼此Z间相似程度较大的样

2、品（或指标）又聚合为另一类，关系密切的聚合到一个小的分类单位，关系疏远的聚合到一个大的分类单位，直到把所有的样品（或指标）聚合完毕，这就是分类的基本思想。以下我们学习一种常用的分类法称作系统聚类法。在聚类分析中，通常我们将根据分类对象的不同分为Q型聚类分析和R型聚类分析两大类。Q型聚类分析是对样木进行分类处理，R型聚类分析是对变量进行分类处理。R型聚类分析的主要作用是：1、不但可以了解个别变量之间的关系的亲疏程度，而且可以了解各个变量组合Z间的亲疏程度。2、根据变量的分类结果以及它们Z间的关系，可以选择主要变量进行回归分析或Q型聚类分析。Q型聚类分析的优点是：1、可以综合利用多个变量的信息

3、对样本进行分类；2、分类结果是肖•观的，聚类谱系图非常清楚地表现其数值分类结果；3、聚类分析所得到的结果比传统分类方法更细致、全而、合理。为了进行聚类分析，首先我们定义样品间的距离。2、距离设有n个样品，p个指标，数据矩阵为X]i，…,兀兀21，…，X2p元素X-.表示第i个样品的第j个指标。因每个样品有P个指标，故每个样品可以看成p维空间屮的一个点，n个样品就构成p维空间中的n个点。因此我们可以用距离来度量样品之间接近的程度。常用的距离:1）明氏（Minkowski）距离:P6=1当q二1时，为绝对距离；当q二2时，为欧氏距离；当q=3吋，为切比雪夫距离。当各变量的测量值相差悬殊时，采用

4、明氏距离并不合理，需要先对数据标粧化，然后用标准化后的数据计算距离。明氏距离特别是其屮的欧氏距离是人们较为熟悉的，也是使用最多的距离。但明氏距离存在不足Z处，主要表现在两个方而：第一，它与各指标的量纲有关；第二，它没有考虑指标Z间的相关性，欧氏距离也不例外。2)马氏距离：设工表示指标的协差阵即：血•⑷=(£

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6、)內a=l召=—工X冲Xj=_》x(ij=l,na=a=i如果工T存在，贝『两个样品之间的马氏距离为：d；(M)=(兀-®)工七-®)这里兀为样晶兀的个指标组成的向量，即原始资料阵的第i行向量。样品类似。»顺便给出样品X到总体G的马氏距离定义为：d2(X,G)=(X-“j「

7、(X-“)其中u为总体的旳值向量，X为协方差阵。马氏距离既排除了各指标Z间相关性的干扰，而口述不受各指标量纲的影响。除此Z外,它还有一些优点，如町以证明，将原数据作一线性交换后，马氏距离仍不变等等。2)兰氏距离：1pX-—X・此距离仅使用于一切©〉0的情况，这个距离有助于克服各指标Z间量纲的影响，但没有考虑指标之间的相关性。计算任何两个样品不与◎之间的距离给•，其值越小表示两个样品接近程度越人，d”•值越大表示两个样品接近程度越小。如果把任何两个样品的距离都算出来后，可排成距离阵D：d]],dp,…dAn〃21，“22，•••^2nD=.其中dH=^22=•••=<«=0。D是一个实对称阵

8、，所以只须计算上三角形部分或卞三角形部分即可。根据D可对n个点进行分类，距离近的点归为一类，距离远的点归为不同的类。3、相似系数1)夹角余弦将任何两个样品旳与◎看成P维空间的两个向量，这两个向量的夹角余弦用COS0表示。pXVja则cos0tj0

9、OS&2“cos^1,cos^2,...cos^l//_3l?

10、icosq产COS02二...=cos仇八H是一个实对称阵，所以只须计算上三用形部分或下三角形部分，根据H可对川个样品进行分类，把比较相似的样品归为一类，不怎么相似的样胡归为不同的类。2)相关系数通常所说相关系数，一般指变量间的相关系数，作为刻划样品间的相似关系也可类似给出定义,即第i个样品与第j个样品之间的相关系数定义为：其中无十拿一1和1实际上，&就是两