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1、第三讲导数及应用一.选择题2.(2009•江西)设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(l))处的切线方程为y=2x+l,则曲线y=f(x)在点(1,f(l))处切线的斜率为()11A.4B.—7C.2D.—~42解析：依题意得fr(x)=gz(x)+2x,f‘(1)=/(l)+2=4.答案：A3.(2010・)等比数列｛an｝中,al=2,a8=4,函数f(x)=x(x-al)(x-a2)-(x-a8),则f'(0)=()A.26B.29C.212D.215解析：函数f(x)的展开式含x项的系数为al•a2a8=(al・a8)4=84=212,而f"(0)=a
2、l・a2a8=212,故选C.答案：C4.若f(x)=—#x2+bln_(x+2)在(一1,+8)上是减函数，则b的取值范围是()A.[―1,+°°)B.(―1,+°°)C.(―°°,—1]D.(—8,—1)h—y—Qv—K解析：由题意知f‘(x)=—x+pWO,xe(-h+-),即f，(x)=—WO,x+2x+2即一x2—2x+b=—(x+l)2+l+bW0.二1+bWO,bW—1.答案：C5.(2010•天津理)设函数f(x)=
3、x-lnx(x>0),则方程f(x)=O()A.在区间f,1)(1,e)内均有实根B.在区间f,1)(1,e)内均无实根C.在区间&，J内有实根，在区间
4、(1，e)内无实根2)0.在区间(右1)内无实根，在区间(1,e)内有实根解析：因为f'(x)令f‘(x)=0,则x=3.当xW(0,3)时，f'(x)〈0,・・・f(x)在(0,3)上单调递减.因为f•f⑴=G•Ah三・(g—In1)=*++1)〉0,因此f(x)在£，J内无零点.又f(1)•f(e)=^
5、x1—In1)・(I・e—Inej=—2o.因此f(x)在仃，e)内有零点.答案：D二、填空题6.若过原点作曲线丫二。％的切线，则切点的坐标为・切线的斜率为・vOpxO解析：y‘=ex,设切点的坐标为（xO,yO）则—=exO,即—=exO,/.xO=l.因此切点的坐标为（1,e
6、）,切线的斜率为c.答案：（1,c）e2.(2009•苏北四市联考)已知函数f(x)=f‘^sinx+cosx,则解析：由已•知,得f‘(x)=f‘1,C^cosx—sinx.贝ijfz因此f(x)=—sinx+cosx,答案：03.(2009•福建理)若曲线f(x)=ax5+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是W：(x)=5ax44xe(0,+呵，・••由题知5ax4+
7、=0在(0,+呵上有解即尸飞在(0,+8)上有解•・・X(0,+8),.••飞#(_8,0).Aae(-oo,0).4.已知函数f(x)的导函数f，(x)=2x_9,且f(0)的值为整数,当xe[n,n
8、+l](nWN*)时,f(x)所有对能取的整数值有且只有1个，则"=解析:由题可设f(x)=x2-9x+c(cER),又f(0)的值为整数,即c为整数,Af(n)=n2-9n+c为整数,f(n+1)=(n+1)2—9(n+1)+c=n2—7n+c—8为整数，又xE［n,n+1］(nWN*)时,f(x)所有可能取的整数值有且只有1个,An2-7n+c-8=n2-9n+c,即n=4•答案•:4三、解答题5.(2010•江西)设函数f(x)=lnx+ln(2—x)+ax(a>0).⑴当a=l时，求f(x)的单调区间(2)若f(x)在(0,1]±的最大值为*,求a的值.解：函数f(x)的定义
9、域为(0,2),f‘(x)=£—士+a.(1)当a=l时，f‘(x)=x~二『，所以f(x)的单调递增区间为(0,^2),单调递减区间为(谑，2).9—2x(2).当xe(0,1］时f‘(x)=x2_x+a>.0,即f(x)在(0,1］上单调递增，故f(x)在(0,1］上的最大值为f(1)=a,因此8=*.6.(2010•课标全国)设函数f(x)=ex—1—X—ax2.⑴若a=0,求f(x)的单调区间;(2)若当xNO时f(x)>0,求a的取值范围.解：(l)a=0时，f(x)=ex—1—x,f‘(x)=ex—1,当(―°°,0)时，f‘(x)<0；当xe(0,+8)时,f，(x)>
10、0.故f(x)在(—8,o)单调减少，在(0,+8)单调增加.⑵f‘(x)=ex—1—2ax.由⑴知exMl+x,当且仅当x=0时等号成立.故f‘(x)^x—2ax=(1—2a)x,从而当1—2・aM0,即aW*时,f‘(x)M0(x20),而f(0)=0,于是当x20时，f(x)20.由ex>l+x(xH0)可得e—x>l—x(xHO)・f‘(x)
