专题一：函数及性质(教师用)

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1、专题一：函数及性质一、函数及其表示［知识点复习］1.函数的基本概念(1)函数的定义设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系使对于集合A中的任意一个数兀，在集合B中都冇唯一确定的数和它对应，那么就称/：A-B为从集合A到集合3的一个函数，记作y=f(x)fx^A.(2)函数的定义域、值域在函数)=兀0,圧人屮，其小所有x组成的集合4称为函数y=f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫做函数y=心)的值域.注意：值域是集合3的子集(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域.(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

2、(5)分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分別用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.2.函数解析式的求法求两数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法.3.映射的概念设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关系f,便对于集合A屮的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A-*B为从集合A到集合B的一个映射.题型一函数与映射的概念［题目1］刿断下面结

3、论是否正确(请在括号中打“"'或“X”)(1W)=T-^g(x)=x是同一个函数.(X)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等.⑶若函数/(兀)的定义域为仪

4、1W兀＜3},则函数f(2x-l)的定义域为{兀

5、1*5}・(则A-x)=(—1WxW1),(jv>1或x<—1)・(4g)=[yj1—%2(―lWxWl),U+l(x>l或兀<一1),(5)函数是特殊的映射.(V)⑹函数y=/«的图象与直线兀=1的交点最多有1个.(V)(7)Ax)=?-2x+l与^t)=t2~2t+是同一•函数.(V)(8)P={—1,1,-2,2},

6、2={L4},对应关系/：x-y=x2,xep,)€Q.(V)(9)P={三角形},Q={xx>0},对应关系/：对集合P中的三角形求面积与集合。中的元素对应.(X)(10)已知集合P={a,b,c},Q={—1,0,1}，则映射广PtQ中满足/(/?)=0的映射共有9个・(J)[题目2].【原创题】若f:A^B能构成映射，下列说法止确的冇()B(DA中的任一元素在B屮必须有像且唯一；(2)A中的多个元素可以在B中有相同的像；(2)B中的多个元索可以在A中冇相同的原像；(4)像的集合就是集合B.A.1个B.2个C.3个D.4个题型二求函数的

7、定义域怎样求抽彖函数的定义域：①若已知函数用)的定义域为⑺，切，贝IJ函数张⑴]的定义域由不等式aWg(x)Wb求出；②若已知函数他(力]的定义域为⑷b],则.心)的定义域为g⑴在b]时的值域.[题目3]・.(2013-人纲全国)已知函数/⑴的定义域为(-1,0),则函数,/(2%+1)的定义域为()BA.(—1,1)B.(—1,—*)C.(—1,0)D.(*,1)[题目4]•已知函数y=/(2兀-1)的定义域是[0,1],则函数g(x)=f(x2)的定义域是.[-1,1][题目5]・已知函数/(x)=log2x(l

8、=/2(x)+/(x2)的定义域是；值域是•[0,1],[0,3]题型三求函数的解析式[题目6]己知沧)满足幼>)土拮)=3兀，则/(x)=./(x)=2x—弘工0).[题目7]・某人开汽车沿一条肓线以60km/h的速度从人地到150km远处的B地.在B地停留lh示,再以50km/h的速度返回4地，把汽车与人地的距离x(km)表示为时间f(h)(从4地出发开始)的函数，并画出函数的图象.二、函数的单调性与最值图彖如右图所示.［知识点复习］1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数兀t)的定义域为/,如杲对于定义域/内某

9、个区间D上的任意两个自变量的值兀2当山“2时，都冇压1)<心2)，那么就说函数/(X)在区间D上是增函数当Xg),那么就说函数几对在区间D上是减函数图象描述片/y=M—~Op；~~5H左向右看图象是上升的自左向味yx2X亍看图象是卜•降的(1)单调区间的定义如果两数在区I'可D上是增函数或减函数，那么就说函数在这-区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数的单调区间.1.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为/,如果存在实数M满足条件⑴对于任意兀日,都有心)WM；(2)存在xoe/,使得/Uq)=M.⑶对于任意xez

10、,都有心)2M；(4)存在x()G/,使得血)=M.结论M为垠大值M为最小值2.利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值;⑵作差；(3)定量;(4)判断.3.判