自动控制原理第四章

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1、第４章根轨迹分析教学重点了解根轨迹的基本特性和相关概念；了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则；掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中；学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能。教学难点根轨迹的绘制，用根轨迹法分析系统的性能。闭环系统的稳定性，完全由它的闭环极点（即系统特征方程的特征根）在S平面上的分布情况决定，系统的动态性能也与闭环极点在平面上的位置密切相关。因此，在分析控制系统的性能时，确定闭环极点在平面上的位置非常重要。1948年，伊文思（W.R.Evans）根据反馈控制系统开环传递函数与其闭环特征方程之间的联

2、系，提出一种简便的求解系统特征方程的特征根的图解法－根轨迹法。根据已知开环系统零、极点，当一个或某些系统参数变化时，确定闭环系统极点在平面上随参数变化运动的轨迹。4.1根轨迹的基本概念根轨迹：当系统的某个参数（如开环增益）由零连续变化到无穷大时，闭环特征方程的特征根在平面上形成的若干条曲线。4.1.1闭环零极点与开环零极点之间的关系图4-1控制系统框图系统的开环传递函数用如下两种形式表示：系统的闭环传递函数为或根轨迹：系统某个参数变化时（由），闭环特征根在平面上运动的轨迹。图4-2二阶系统方框图系统的闭环传递函数为系统的特征方程为求解该方程可得闭环系统

3、的特征根为表4-1开环增益K取不同值时对应的特征根、00.51230-0.29-1-2-1.71-1图4-3二阶系统的根轨迹图中箭头方向表示当开环增益K从0→∞时系统特征根移动的方向。从图4-3中可以看出开环增益K的变化对闭环特征根分布的影响：（1）当时，特征根、与开环极点－、－重合，这就是根轨迹的起始点。（2）当时，两个闭环特征根重合，即为重根。（3）当继续增大，两个闭环特征根为一对共轭复数，其实部相同（-1），虚部沿与虚轴平行的直线分别移动，直到趋于无穷大。4.1.2根轨迹与系统性能1、稳定性无论开环增益取何值，系统的根轨迹曲线和相应的系统的极点均

4、分布在的左半平面内，故该闭环系统总是稳定的。2、动态性能当时，闭环特征根为[-2,0）区间内的负实根，系统阶跃响应曲线相当于过阻尼；当时，闭环特征根重合，其阶跃响应曲线相当于临界阻尼状态；当时，闭环特征根为共轭复数，其阶跃响应曲线相当于欠阻尼状态，即衰减振荡。３、稳态特性因为开环传递函数有一个位于原点的极点，所以该系统为I型系统，阶跃函数作用下的系统稳态误差为零。4.1.3根轨迹方程对于如图4-1所示的控制系统的一般结构，其闭环传递函数为可得系统的特征方程（根轨迹方程）为或表示成图4-1控制系统方框图由于是一复变量，可表示为模和幅角的形式，向量“”可表

5、示为或特征方程式可以等价地写成或利用复变量相等的条件，可得下列关系式：模值方程为相角方程为负反馈系统：正反馈系统：绘制根轨迹只要根据相角方程就足够了，相角方程是确定闭环根轨迹的充分必要条件。例4-1试分析图4-3中根轨迹的相角条件，并求根轨迹上点和点所对应的开环根轨迹增益值。解图4-4系统根轨迹如图4-4所示，实轴上极点和之间是根轨迹。该两个极点之间的任意一点，如点，其相角为，满足根轨迹的相角条件。S平面上的直线也是根轨迹，因为该直线上的任意一点，如点，其相角为同样满足根轨迹的相角条件。对于点，根轨迹增益为对于点，根轨迹增益为4.2根轨迹的绘制规则4.

6、2.1180°根轨迹绘制的基本规则１．根轨迹的方向、起点和终点根轨迹起始于，终止于，由模值条件式得当时，为系统的开环极点。当时，为系统的开环零点。规则1：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。如果开环零点数目小于开环极点数目，则有条根轨迹终止于无穷远处。２.根轨迹的分支数根轨迹分支数与闭环特征方程的根的数目相同，系统的特征方程为特征根的数目等于和中的较大者。规则2：根轨迹的分支数等于特征方程的阶次，即开环零点数和开环极点数中的较大者。３.根轨迹的连续性和对称性规则3：根轨迹是连续的，且以平面的实轴为对称的曲线。４.实轴上根轨迹的分布根轨迹在实轴上总是分

7、布在两个相邻的开环实零、极点之间，且该线段右边开环实零、极点的数目之和为奇数。图4-5实轴上根轨迹的分布设系统开环零、极点分布如图4-5所示，在实轴上任取一点，连接所有的开环零、极点。实轴上根轨迹的确定完全取决于点右边实轴上开环零、极点数目之和。由相角条件得规则4：实轴上属于根轨迹的部分，其右边开环零、极点的数目之和为奇数。例4-2设单位负反馈控制系统的开环传递函数如下试绘制该系统的根轨迹。解由规则1可知，系统的根轨迹在时，分别从三个开环极点（，，）出发，当时根轨迹的两条分支趋向于开环零点和，另一条趋向无穷远处。由规则4可知，在实轴上的0至-1线段和-

8、2至-3线段上，以及从-4至的线段上存在根轨迹。系统的根轨迹如图4-6所示。图4-6例4-2系