第三节 无穷小(量)和无穷大(量)

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1、1一、无穷小(量)定义以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).例如,注:1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈;3.零是唯一可以作为无穷小的数.2.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.§2.3无穷小(量)和无穷大(量)2无穷小和极限的关系:定理变量y以A为极限的充分必要条件是：变量y可以表示为A与一个无穷小量的和。即limy=Ay=A+a，其中a是无穷小。证略.定理表明：极限概念可以用无穷小量概念来描述.无穷小量的性质：1°有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；定理2°无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；3°有限多个无穷小量之积仍是无穷小

2、量。3例1解4例2例35二、无穷大量定义在自变量的某一变化过程中,若变量y的绝对值

3、y

4、无限地增大,则称y为无穷大,记为若y恒为正且y无限地增大,则称y为正无穷大,记为若y恒为负且

5、y

6、无限地增大,则称y为负无穷大,记为6几点说明:(1)无穷大量定义对数列也适用(2)无穷大是相对于自变量某个变化过程而言的.例如,时,是无穷大,而时,,不是无穷大.(3)无穷大是指自变量的某个变化过程中,其绝对值无限增大的变量,而不是绝对值很大很大的常量.7(4)定义只是无穷大的一种直观描述,而不是严格的数学定义.(或+∞,或－∞)的严格数学定义是:对任意给定的正数M(

7、不论多么大),总存在δ>0,使当0<

8、x－x0

9、<δ时,恒有

10、f(x)

11、>M(或f(x)>M,或f(x)<－M)8证得证.xoy例49无穷大量与无界变量的关系(1)无穷大量显然是无界变量；(2)但无界变量不一定是无穷大量。例如数列再如，但它并不是无穷大量。10三、无穷大量与无穷小量的关系意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例511例6解所以原极限为-1；所以12四、无穷小量的比较例如,比值极限不同,反映了两者趋向于零的“快慢”程度不同.观察各极限下节证13定义：14说明:1、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个变化过程

12、中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶.2、在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能比较阶的高低的.15例716例8证17例9证18例10但是，不存在，