完全平方数知识讲解

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1、奥数:完全平方数1、把1—50这50个数的平方数从小到大排成一个多位数149162536……,请问这个多位数共有()位数字。分析与解答:1-3的平方只有一位数,共3个数字;4-9的平方有两位数字,共2×6=12个数字;10-31的平方有三位数字,共有3×22=66个数字;32-50的平方有四位数字,共有4×19=76个数字;合计:3+12+66+76=157个数字。2、46305乘以一个自然数a,积是一个完全平方数,则最小的a是()。分析与解答:46305=5×3×3×3×7×7×7所以a最小是5×3×7=105。3、祖孙三人,孙子和爷爷的年龄之积是1512,而爷爷,父亲,孙子

2、三人的年龄之积是完全平方数,父亲的年龄是()岁。分析与解答:1512=3×3×3×2×2×2×725要使1521乘一个数的积是完全平方数,那么这个数最小是:3×2×7=42。所以父亲的年龄是42岁。4、把一个两位数的个位与十位数字交换后得到一个新数,它与原来的数字加起来恰好是某个自然数的平方,这个和数是()。分析与解答:我们设这个数原来为10a+b,那么现在是10b+a,它们的和为11×(a+b)是一个完全平方数,所以a+b必等于11,那么这个和数就为11×11=121。5、已知n/2是完全平方数,n/3是立方数,则n的最小值为()。分析与解答:根据n/2是完全平方数,我们知道

3、n里面有奇数个质因数2,而联系n/3是立方数,所以我们知道n里至少有3个质因数2;同样的道理我们知道n里至少有4个质因数3,那么n最小值为2×2×2×3×3×3×3=648。6、已知一个自然数的平方的十位数是8,这个完全平方数的个位数字是()。分析与解答:25一个整数的完全平方数的末两位数字只能由这个整数的末两位数字所决定。我们设这个自然数N的末两位数字为10a+b,那么(10a+b)^2=100a^2+20a+b^2=100a^2+2ab×10+b^2因为2ab是偶数,8也是偶数,那么b^2要么不进位,要么进位为偶数。如果不进位,那么只能是b^2=0,1,4,9,如果进位那么

4、只能是b^2=25,49,64,81。我们又知道如果一个完全平方数的末尾是0,那么必须是成对出现(偶数个),所以0可以排除;如果末尾是5,那么十位必须是2,所以5也可以排除。所以一个自然数的平方的十位数是8,这个完全平方数的个位数字是:1,4,9。比如:9^2=81;22^2=484;33^2=1089。7、如n减58是完全平方数,n加31也是完全平方数,则n是()。分析与解答:这题目小学里有点麻烦,但是如果知道平方差公式,那么就非常简单了。平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b)2558+31=89,89是素数,只能是1×89,所以a+b=89,a-b=1我们可以知道

5、a=45,所以n=45×45-31=1994。8、从1986,1989,1992,1995,1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数是()。分析与解答:我们从上题只知道了平方差公式,我们还可以知道a+b与a-b的奇偶性是相同的。1986=1×1986=2×993=6×331;1989=1×1989;1992=2×996;1995=1×1995;1998=1×1998=2×999=...从上面我们发现1986与1998不能写成两个奇偶性相同的数的乘积,所以1986和1998不能写成两个自然数平方差的形式。9、用240个5和若干个0组成的数,是否为完全平方数?分析与解答

6、:25我们知道240个5与若干个0组成的数的数字和是1200,1200能被3整除,所以这240个5和若干个0组成的数是3的倍数,如果它是完全平方数,那么它就必须是9的倍数,但是1200不能被9整除,所以用240个5和若干个0组成的数,不是完全平方数。10、是否存在自然数a,b使得2ab11×7是完全平方数?分析与解答:由于2ab11×7是完全平方数,所以2ab11必是一个完全平方数×7,又由于3×7=21,所以这个完全平方数的尾数是3,而我们知道:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9,所以不存在自然数a,b使得2ab11×7是完全平方数。11.一所小学开运动会,全体学

7、生在操场上排队,如果每行24人,26行排不完,27行又有余;如果每行23人,27行排不完,28行又有余。后来体育老师调整了队形,正好排成每行人数和行数相等的队形,问这所小学共有学生多少人?分析与解答:从“如果每行24人,26行排不完,27行又有余”可以知道人数超过24×26=624而小于24×27=648;从“如果每行23人,27行排不完,28行又有余”知道人数超过23×27=621,小于23×28=644。所以人数在624到644之间。又由于“正好排成每行人数和行数相等的队形”,所以知道人

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