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1、第1章差分方程和滞后算子第一节差分方程一.一阶差分方程假定f期的y（输出变量）和另一个变最w（输入变最）和前一期的y之间存在如下动态方程：Z=0X_i+w（1）则此方程为一阶线性差分方程，这里假定VV为一个确定性的数值序列。差分方程就是关于一个变量与它的前期值Z间关系的表达式。一阶差分方程的典型应川为美国货币需求函数:m,=0.27+0.72““+0」9/z-0.045^-0.019r7vvz=0.27+0.19/,-0.045^-0.019r,其中％为货币量，人为真实收入，缶为银行账户利率，匚为商业票据利率。1）用递归替代法
2、解差分方程根据方程（1）,可以得到0y0=0比1+%1=0儿+⑷］2『2=0）'】+%⑵••••••/X=0）L+叫如果我们知道f=-1期的初始值儿和w的各期值，则可以通过动态系统得到任何一个时期的值。即幵=0川儿
3、+0‘W（）+0一”+•...+叱（3）这个过程称为差分方程的递归解法。2）动态乘子：对于方程（3）,如果％随y_｛变动，而wt都与y_］无关,则%对yr得影响为:血M或色也=0（4）CWq6片方程（4）称为动态系统的乘子，或脉冲响应函数（即暂吋性影响）。动态乘子依赖丁j,即输入叱的扰动和输出X+J的观察值之间的时
4、间间隔。对于方程（1）,当0V0V1时，动态乘子按几何方式衰减到零；当-1V0VO,动态乘子振荡衰减到零；0〉1,动态乘子指数增加；0<-1,动态乘子发散性振荡。因此，胡<1，动态系统稳定，即给定叫的变化的后果将逐渐消失。0〉1,系统发散。当阀=1时，此时x=儿］+%+吗+....+叱，即输出变量的增量是所有输入w的历史值之和。如果W产生持久性变化，即叱，叫…，叱+j都增加一个单位，此时持久性影响为：(5)且j—g是，持久性影响为limjs1+0+••••+0八+0，+…如果考察叫的一个暂时性变化対输出y的累积性影响，则和长期
5、影响一致。一.p阶差分方程如果动态系统中的输出开依赖于它的P期滞后值以及输入变量此:X=0
6、)人+02)匸2+••…+0昇心+(7)此时可以写成向量的形式,这个系统由"个方程组成。0203…0一］妇儿1100…000儿2■■,F=0••1■■0■■…0•,,,•0••,叫=0••••_0■0■0••••…1•0•0定义从而（7）写成向量形式:1+儿(8)为了便于处理，将〃阶数量系统变成一阶向量系统。还可以采用滞斤算了的办法来处理这个系统。0期的§值为：=F^-i+v01期的歹值为：=F^o+v,=F(^0=+v0)+v,=F2
7、^+Fv0+v,r期的g值为:生=严久+Flv.+F/-1v1+F{-+.・・.+Fvt_x+vz写成§和卩的形式为：^-1儿2■•=pt+iKi儿2儿3•■+F%00■■+严00••+....+f''^-1'00■■+00•■(9)•y/_“+】■■0■0■0Mm•0MB该系统屮的第一个方程代表了兀的值。令川）表示F屮第（1,1）个元索,盅）表示F中第（1,2）个元素等等。于是x的值为:X=儿I+卅叽+/『)儿3+•••+//；")“+/ll,%++•・•+卅％+叱(10)yf+J=卅一1+fi2+1）yt-2+fi（3
8、+l）yf-3+…+用）怙+fn）wt+fn~+i+・・・+/；卩叱+口+叫+/表示成初始值和输入变量历史值的函数。此时p阶差分方程的动态乘子:(11)(12)是Fj的（1,1）元素。因此对于任何一个p阶差分方程,(13)j，学++02owtowt对于更大丿•值，通过分析表达式（12）就非常冇用。通过矩阵F的特征根地进行求解。矩阵F的特征根为满足下式的Z值:(14)对于一个p阶系统，行列式（14）为特征根2的p阶多项式，多项式的〃个解是F的P个特征根。定理1：%0203…0/T100…00矩阵F=0■■1■■0■•…0■•
9、0■■■0■0■0•••■…1■0的特征根由满足下式的2值组成:(15)2"-I-02"〜-…-0〃-12-0“=01•具有相异特征根的P阶差分方程的通解此时存在一个（pxp）阶非奇异矩阵满足F=TA厂iF2=TAT'TAT'=T^TiFj=nv厂
10、41人2…00…0_严…"「21(22…•••••…切0••0…••0■严■严...严•■■■•••Jpltp2…•0•0••0•…■■_tpi••严...严片1皆（12召•••严•••tip~GlA(22人•••••••••/21•严■•••t2p■••GV02石•••■■T'■
11、严•••■fpp令©表示T的第，行、第丿•列的元索,严表示厂
12、的第，行、第）列的元素。因此方程为:(18)其中A是一个（pxp）矩阵，主对角线由F得特征根组成，其它元素为零，即A=30■■■0■■•0…0…■••••■0_0■■■,A2=0••■0■■■0…0•…■••…■0
