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1、第1章差分方程和滞后算子第一节差分方程一.一阶差分方程假定/期的y（输出变量）和另一个变量w（输入变量）和前一期的y之间存在如下动态方程：X=+⑷（1）则此方程为一阶线性差分方程，这里假定⑷为一个确定性的数值序列。差分方程就是关于一个变量与它的前期值之间关系的表达式。一阶差分方程的典型应用为美国货币需求函数:mt=0.27+0.72加一］+0.19厶-0.045%-0.019口叫=0.27+0.19/厂0.045仏一0.019几其中f为货币量，厶为真实收入，5为银行账户利率，乙为商业票据利率。1）川递归替代法解差
2、分方程根据方程（1）,可以得到0刃）=0比】+%1必二0儿+吗2『2=0『1+巴（2）tyt=+叫如果我们知道t=-1期的初始值人和W的各期值，则可以通过动态系统得到任何一个时期的值。即yr+0‘Wo+0'~S］+....+m;（3）这个过稈称为差分方稈的递归解法。2）动态乘子：对于方程（3）,如果随儿］变动,而叫…，叱都与比］无关,则％对％得影响为:=0，或^l+J=0/dwt(4)方程（4）称为动态系统的乘子，或脉冲响应函数（即暂时性影响）。动态乘子依赖于丿•，即输入叱的扰动和输出x+j的观察值之间的吋间间隔
3、。对于方程（1）,当0<0<1时，动态乘子按儿何方式衰减到零；当-1<0<0,动态乘子振荡衰减到零；0〉1,动态乘子指数增加；0<-1,动态乘子发散性振荡。因此，
4、0
5、<1,动态系统稳定，即给定叫的变化的后果将逐渐消失。
6、0
7、〉1,系统发散。当
8、0
9、=1时，此时X=儿+%+鸭+.・・・+叫，即输出变量的增量是所有输入W的历史值Z和。如果W产生持久性变化，即VVZ,K；+1,...,V%-都增加一个单位，此时持久性影响为：当
10、0
11、<1时,且/TOO是，持久性影响为=1+0+••••+0八+0'+…=11—0(6)如
12、果考察vv,的一个暂时性变化对输出y的累积性影响，则和长期影响一致。二.p阶差分方程如果动态系统中的输出％依赖于它的p期滞后值以及输入变量叱:兀=仏+02儿2+••…+0屛十+叱(7)此时可以写成向量的形式，定义・yt'020…100…00)>-2■■,F=0■■1■■0••…0■••••0■•■■0■0■0■…1■00vt=0从而（7）写成向量形式:(8)这个系统rh〃个方程组成。为了便丁•处理，将°阶数量系统变成一阶向量系统。还可以采用滞后算子的办法来处理这个系统。0期的歹值为：亦昭+齐）1期的g值为:計Fg
13、°+片"（空=眩］+卩0）+片=尸&1+他+片/期的歹值为：加F%+F+Fl~+厂霸+..・.+F咕+岭写成的Uv的形式为:y-)/-2•■=严1儿]儿2儿3■■+FWo00■+严W]00•+....+F，'^-1'00•+00•■t-p^-■7-/>_•0_•0•0•0_该系统中的第一个方程代表了x的值。令卅）农示F冲第（1,1）个元素,（1,2）个元素等等。于是％的值为:X=用)儿1+/12+1)J-2+/13+1)J-3+・・・+卅儿p+人％0++・・・+卅)W_1+W,(10)yt+j=fn+i）y
14、t-i+fn+1）yt-2+Wb-+…+f^x}yt-P+•卅S++・・・+卅）叽一1+W/+J表示成初始值和输入变量历史值的函数。此时P阶差分方程的动态乘子:(11)仏=f(j)dwt7,1(12)是G的（1,1）元素。因此对于任何一个p阶差分方程,(13)dwrOWj对于更大丿•值，通过分析表达式（12）就非常有用。通过矩阵F的特征根地进行求解。矩阵F的特征根为满足下式的A值：F-4(14)对于一个p阶系统，行列式（14）为特征根Z的p阶多项式，多项式的p个解是F的P个特征根。定理1：0003…0T100…0
15、0矩阵F=0■■1••0•■…0••0■■•0•0■0••••…1•0的特征根山满足下式的2值组成:(15)2"-0]久"‘-02久"彳-…-0卩_]2-0,=01.具有相界特征根的"阶差分方程的通解此时存在一个（pxp）阶非奇异矩阵八满足F=TEf2=tEtKT'=TW'Fj=TA旷令©表示卩的第i行、第丿列的元素,用表示的第i行、第.j列的元素。因此方程为:Pm『12…创00…■0严Fj=■■■(22■■■…切■•…•■0••••0…••••0••严严■02…tPP」000•…J,A严PP1]]召(12…4/
16、屛「4严・・・tip~『21皆^22^2…切2；••••••…•t21t22…t2p•••••...••••Jp^今盘…tpp九;.••••••严1fP2…严(18)其屮A是一个（pxp）矩阵，主对角线由F得特征根组成，其它元素为零，即300…0_A200…o'00…0_A=0•■•■■■0…■•••••0■■•,A2=0■■■■•■0…■••…■0■■■，…,A丿=
