[工学]线性代数概念

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1、I.行列式的定义n阶行列式Unlan2其中P4…P.为自然数12的一个排列M为这个排列的逆序数，求和符号2是对所有排列久“2・・・仇求和.n阶行列式D中所含/个数叫做D的元素，位于第i行第j列的元素知叫做D的（iJ）元.二阶和三阶行列式的计算适用对角线法则.2.行列式的性质（1）行列式D与它的转置行列式DT相等.（2）互换行列式的两行（列），行列式变号.（3）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一数趴等于用数k乘此行列式;或者，行列式的某一行（列）的各元素有公因子虹则k可提到行列式记号之外.（4）行列式中如果有两行（列）元素完全相同或成比例，

2、则此行列式为零.（5）若行列式的某一列（行）中各元素均为两项之和，则此行列式等于两个行列式之和.例如第j列«

3、

4、al2…(5+几）・••5%••°22•■丄・（切+岛)・•■••a2”■■■%…（Q町■+此）・••■°””第j列第j列a12…S…5”U12…a]…5a2••a22•…a2>••…■■+«21•■52•…a2j・・・a2H•••••55•…5•・・•a讥•a”2••……%如果这样，就形象地称为行列式按第j列拆成两个行列式.（6）把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）的对应元累上去，行列式的值不变.3.行列式

5、的按行(按列)展开(1)把N阶行列式中GJ)元勺所在的第，行和第j列划去后所成的并-1阶行列式称为(d,j)元知的余子式，记作M”；记A”=(-1)宀M”，称A”为GJ)元知的代数余子式.(2)n阶行列式等于它的任意一行(列)的各元素与对应的代数余子式的乘积的和•即可以按第2•行展开:D=anA订+ai2Ai2+…+%A加(i=1,2,・・・皿)；或者按第j列展开：+a2JA2i+…+a„fAnJ(j=1,2,・・・，”)・(1)行列式中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零•即+ai2Af2+…+和+a2iA2j

6、+…+AniAni=Ou^j.2.一些常用的行列式(1)上、下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积•即心2a22…•••♦=a2l•■a22••••••%心1••5…％ii«22•••a””(未标明的元素均为零，下同).特别,对角行列式等于对角线元素的乘积，即“b八（未标明的元素均为零•下同）.=aHa22—aMIIJ特别,对角行列式等于对角线元素的乘积，即内容提要1.矩阵的定义与记号mX”矩阵，记作A或AwXw.矩阵的第i行、第j列元素称为该矩阵的（FJ）元；以知为（F,j）元的矩阵记作（知）或（知）八”.n阶矩阵（或称n阶方阵），记作A或

7、A”・列矩阵（或称列向罐），常用a,a,x表示;行矩阵（或称行向量），常用aT,aT,xT表示.零矩阵，记作o或o,「对角阵■也记作deg（右，“，・•・"」・单位阵，记作E或&・如同教材的约定一样，本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵，即矩阵的元素都是实数.设A=（a0）,B=（6y＞）是两个?nXn矩阵，如果ai}=切、i=,2,…，〃山=1,2,…，n,那么称矩阵A与B相等，记作A=B.2.矩阵的运算及运算规律(1)矩阵的加法满足：(1)A+B=B+A;(ii)(A+B)+C=A+(B+C).(2)数乘矩阵满足(其中A,^€R)：(i

8、)入S)=(“)A;(ii)(A+/z)A=AA+juA;(iii)A(A+B)=AA+JIB.(1)矩阵与矩阵相乘满足(设运算都是可行的)：(i)(AB)C=A(BC);(ii)A(B+C)=AB+AC,(A+JB)C=AC+BC;(iii)(AA)B=A(AB)=A(AB).矩阵的乘法不满足交换律•若方阵A与B满足AB=BA,则称方阵A与B是可交换的.当AB=0时，A与B可以都不是零矩阵.(2)矩阵的转置满足：(i)(At)t=A;(ii)(A+B)t=At+Bt;(iii)(AA)t=AAt;(iv)(AB)t=BtAt.若方阵A满足AT

9、=At则称A为对称阵・A=(切)”为对称阵的充要条件是知=a”(i,j=1,2,…，力)・(3)方阵的幕A*和方阵的多项式.设p(入)=a0+«

10、A+•••+aMkm为入的加次多项式，记(p(A)=a0E+A+・••+amAn,卩(A)称为方阵A的加次多项式.方阵的無和多项式满足：(i)A%=A.,(aJ'=A"()M€Z・)；(ii)设卩(A),/(A)是A的两个多项式，则

11、=

12、a

13、；(ii)

14、AAj=A"

15、Aj;(ii

16、i)

17、AB

18、=

19、4

20、

21、B

22、・1.逆矩阵(1)定义对于方阵A若有方阵〃使AB=BA=E,则称矩阵A是可逆的，B称为A的逆阵，并记为B=Al.(2)方阵A