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1、第一讲基本概念1.线性方程组的基本概念线性方程组的•般形式为：°1
2、兀
3、+al2x2+・・・+°]“兀“=九^2
4、X,+^22兀2+a2nXn=X，卩“內+4“2兀2+•••+%/“=»,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等。线性方程组的解是一个”维向量（匕,心…，忍）（称为解向量），它满足：当每个方程中的未知数Xj都川匕替代时都成为等式。线性方程组的解的情况有三种：无解，唯一解，无穷多解。对线性方程组讨论的主要问题有两个：（1）判断解的情况。（2）求解，特别是在有无穷多解时求通解。勺=b2=--=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组。〃维零向量总是齐次线性方程
5、组的解，称为零解。因此齐次线性方程组解的情况只有两种：唯一解（即只要零解）和无穷多解（即有非零解）。把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0,所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组。2.矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展。由mxn个数排列成的一个mtjn列的表格，两边界以圆折号或方括号，就成为一个mxn型矩阵。例如<2-101111102254-29<333-18是一个4x5矩阵，对于上面的线性方程组，称矩阵aila2…a'如2•…A=a2a22…a2n••••••••••••和（AI0）=a2
6、•••a22•••…a2n••••••b2•••afaamlm2ww/仏2…ainn为其系数矩阵和增广矩阵。增广矩阵体现了方程组的全部信息，而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息。一个矩阵中的数称为它的元素，位于第2•行第j列的数称为（ij）位元素。元素全为0的矩阵称为零矩阵，通常就记作0。两个矩阵A和〃相等（记作A=B），是指它的行数相等，列数也相等（即它们的类型相同），并且对应的元素都相等。由n个数构成的有序数组称为一个川维向量，称这些数为它的分量。书写屮可川矩阵的形式来表示向量，例如分量依次是也卫2，・・・卫”的向量可表示成（di®,…,aJ或a2，请注意，
7、作为向量它们并没有区别，但是作为矩阵，它们不一样（左边是lxn矩阵，右边是nxl矩阵）。习惯上把它们分别称为行向量和列向量。（请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别。）一个mxn的矩阵的每一行是一个n维向量，称为它的行向量；每-•列是一个m维向量,称为它的列向量。常常用矩阵的列向量组來写出矩阵，例如当矩阵人的列向量组为a】,色,时（它们都是表示为列的形式！）町记A=（务,色，…,aJ。矩阵的许多概念也町对向量来规定，如元素全为0的向量称为零向量，通常也记作0。两个向量a和0相等（记作&=0）,是指它的维数相等，并且对应的分址都相等。（2）线性运算和转置线性运算
8、是矩阵和向量所共有的，下而以矩阵为例来说明。加（减）法：两个mxn的矩阵A和B可以相加（减）,得到的和（差）仍是mxn矩阵，记作A+B（A-3）,法则为对应元素相加（减）。数乘：一个mxn的矩阵4与一个数c可以相乘，乘积仍为mxn的矩阵，记作cA,法则为A的每个元素乘c。这两种运算统称为线性运算，它们满足以下规律：①加法交换律：A+B=B^A.②加法结合律：（A+B）+C=A+（B+C）。③加乘分配律：c（A+B）=cA+cBo（c+d）4=c4+dA。④数乘结合律：c（d）4=（cd）A。⑤c4=0oc=0或A=0o转置：把一个znxn的矩阵A行和列互换,得到的nxm
9、的矩阵称为A的转置,记作Ar（或A'）。有以下规律：①（A7=Ao②（24+3）丁=/1丁+3厂。③（cA）t=cAr0转置是矩阵所特有的运算，如把转置的符号用在向虽上，就意味着把这个向量看作矩阵To当a是列向量时，0表示行向量，当&是行向量时，/表示列向量。向量组的线性组合：设…，匕是一组斤维向量，“心,…,C$是一组数，则称cxa{+c2a2H—+csas为al9a2,--9as的（以口心,…,c$为系数的）线性组合。71维向量组的线性组合也是n维向量。（3）斤阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做兄阶矩阵。把〃阶矩阵的从左上
10、到右下的对角线称为它对角线。（其上的元素行号与列号相等。）下而列出儿类常用的刃阶矩阵，它们都是考试人纲中要求掌握的。对角矩阵：对角线外的元索都为0的〃阶矩阵。单位矩阵：对角线上的元索都为1的对角矩阵，记作E（或/）。数量矩阵：对角线上的元素都等于一个常数c的对角矩阵，它就是cE。上三角矩阵：对角线下的元索都为0的几阶矩阵。卜•三角矩阵：对角线上的元索都为0的几阶矩阵。对称矩阵：满足=A矩阵。也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（厶,）位的元素总是相等的〃阶矩阵。（反对称矩阵：满足屮二-人矩阵。也就是对任何位的元素和C/，D位的元索之和
