《工学线性代数》ppt课件

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1、线性代数主讲：王娟教材：线性代数（第三版），何苏阳、吕巍然、王子亭主编，石油大学出版社安排：共32学时，计划讲授前五章，平时成绩占20%，期末成绩占80%。一、学习必要性二、课程特点1、线性代数是高等工科学校本科各专业的一门重要的基础理论课。2、线性代数是一门必修课,考研必考内容。1、概念多、符号多、定理多。2、内容抽象。第一章n阶行列式一、主要内容1、排列的一些性质；2、n阶行列式的定义、性质和计算；3、克莱姆法则.二、学习重点行列式的性质和计算.1.1排列的逆序数与对换引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有

2、重复数字的三位数？解123123百位3种放法十位1231个位1232种放法1种放法种放法.共有一、概念的引入二、全排列及其逆序数问题定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.由引例同理在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.例如排列32514中，定义我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序问：该排列中还有其他的逆序吗？定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.排列的奇偶性逆序数为

3、奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.注：标准排列为偶排列（逆序数为0）.计算排列逆序数的方法基本思想：先计算出排列中每个元素的逆序数，再对所求出各元素的逆序数求和，即得所求排列的逆序数.分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和（向前数大）方法1：分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码个数之和（向后数小）方法2：32514于是排列32514的逆序数为5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;例1求排列32514的逆序数

4、.2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;在排列中,3排在首位,逆序数为0;向前数大解：例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解此排列为偶排列.解当时为偶排列；当时为奇排列.三、对换的定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．例如四、对换与排列的奇偶性的关系定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为对换与除外，其它元素的逆序数不改变.当时，的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,当时，经对换后的逆序数不变，的逆序

5、数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为现来对换与次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明由定理1知，对换的次数就是排列奇偶性而标准排列是偶排列（逆序数为0）,因此知推论成立.的变化次数,思考题证明在全部级排列中,奇偶排列各占一半.注：n级排列是由自然数1到n组成的有序数组.例排列32514为5级排列.思考题解答证设在全部级排列中有个奇排列,个偶排列,现来证.将个奇排列的前两个数对换

6、,则这个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以若将个偶排列的前两个数对换,则这个偶排列全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有故必有由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表定义1即1.2n阶行列式的定义一、二阶、三阶行列式.列标行标定义2记（3）式称为数表（2）所确定的三阶行列式.主对角线副对角线对角线法则二、三阶行列式的计算说明（1）三阶行列式共有项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）每项的正负号都取决于该项三个元素的下标排列的逆序数．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排

7、列奇排列二、n阶行列式的定义定义说明1、阶行列式是项的代数和，结果是一个数;2、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;即某一乘积项符号的确定：先把该项的n个元素按行标排成标准顺序，然后由列标所成排列的奇偶性来决定这一项的符号。4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;5、高阶行列式不能用对角线法则计算.3、的符号为利用定义计算行列式步骤：（1）取项；（2）冠符；（3）求和例1计算对角行列式分析展开式中项的一般形式是从而这个项为零，所以只能等于,同理可得解即行列式中不为零的项为例2计算上三角行列式↓主对角线下方

8、元素全部为零分析展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解例3同理可得下三角行列式↗主对角线上方元素全部为零例4证明对角行列式→对角线以外的元素全部为零证明第一式是显然的,下面证第二式.若记则依行列式定义证毕结论调换行列式的乘积项中两元素的次序，行标排列与列标排列的逆序数之和不改变奇偶性。三、行列式的列顺序表示法证设有乘积项对换元素后，得由于的