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1、全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B
2、A)P(A)>0§1.4全概率公式和贝叶斯公式一.全概率公式例1有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率.解:记Ai={球取自i号箱},B={取得红球}即B=A1B+A2B+A3B，且A1B、A2B、A3B两两
3、互斥B发生总是伴随着A1，A2，A3之一同时发生，123P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.对每一项运用乘法公式代入数据计算得：P(B)=8/15设S为随机试验的样本空间，A1,A2,…,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i=1,2,…,n,全概率公式称满足上述条件的A1,A2,…,An为完备事件组.则对任一事件B，有证明加法公式乘法公式某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,…,n)，如果B是由原因
4、Ai所引起，则B发生的概率是每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B
5、Ai)全概率公式我们还可以从另一个角度去理解全概率公式的关键：数学模型完备事件组B表示产品为次品分别表示产品由甲、乙、丙车间生产完备事件组全概率公式例3甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.设B={飞机被击落}Ai=
6、{飞机被i人击中},i=1,2,3由全概率公式P(B)=P(A1)P(B
7、A1)+P(A2)P(B
8、A2)+P(A3)P(B
9、A3)依题意，P(B
10、A1)=0.2,P(B
11、A2)=0.6,P(B
12、A3)=1为求P(Ai),设Hi={飞机被第i人击中},i=1,2,3P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.P(B)=P(A1)P(B
13、A1)+P(A2)P(B
14、A2)+P(A3)P(B
15、A3)=0.458=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1即飞机被击落的概率为0.458.加法公
16、式独立性该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题“已知结果求原因”这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.某人从任一箱中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白或者问:有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白球，3号箱装有3红球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.1231红4白?记Ai={球取自i号箱},i=1,2,3;B={取得红球}求
17、P(A1
18、B).运用全概率公式计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式条件概率公式二.贝叶斯公式该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.设A1,A2,…,An是完备事件组，则对任一事件B，有贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.---后验概率在B已经发生的前提下，再对导致B发生的原因的可能性大小重新加以修正。P(Ai)---先验概率它是由以往的经验得到的，是事件B的原因。该产品由乙车间生产的可能性
19、最大。贝叶斯公式例4用甲胎蛋白检测法(AFP)诊断肝病，已知确实患肝病者被诊断为肝病的概率为0.95，未患肝病者被误诊为肝病的概率为0.02，假设人群中肝病的发病率为0.0004，现在有一个人被诊断为患有肝病，求此人确实为肝病患者的概率。设A={肝病患者}，B={被诊断为患有肝病}，由贝叶斯公式，这一讲我们介绍了全概率公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们.值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”.可见贝叶斯公式的影响.
20、概率统计第一章习题课习题一与第二问互为逆事件9.某种植物有三种基因型：AA，Aa，aa.每一基因的数量分别为200，600，50.随机抽取一个体，问(1)其基因型为AA的概率是多少？(2)其基因型为AA或aa的概率是多少？11.100件产品中有10件次品，用不放回的方式取产品，每次1件，连取三次，求第三次才取得次品的概率。解令Ai为第i次取到正品13.灌装注射液需要四道工
