医药高等数学_第二章

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1、第二章导数与微分第一节导数概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节隐函数及由参数方程所确定的函数相关变化率的导数第五节函数的微分7/18/20211南京中医药大学信息技术学院第一节导数概念一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数可导性与连续性的关系7/18/20212南京中医药大学信息技术学院一、引例1.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为7/18/20213南京中医药大学信息技术学院2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率7/18/20214南京中医药大学信息技

2、术学院两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题7/18/20215南京中医药大学信息技术学院二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.7/18/20216南京中医药大学信息技术学院运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率若上述极限不存在,在点不可导.就说函数的导数为无穷大.也称在注:7/18

3、/20217南京中医药大学信息技术学院导函数的定义如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数简称导数记作易见求导数的步骤(1)求增量(2)算比值(3)求极限7/18/20218南京中医药大学信息技术学院例1.求函数解:说明：对一般幂函数(为常数)例如，7/18/20219南京中医药大学信息技术学院例2.求函数的导数.解:则即类似可证得7/18/202110南京中医药大学信息技术学院解例3求函数的导数.即例4求函数的导数解即7/18/202111南京中医药大学信息技术学院解例5即7/18/202112南

4、京中医药大学信息技术学院单侧导数1.左导数:2.右导数:函数f(x)在某点处可导左导数和右导数都存在且相等.函数f(x)在开区间(ab)内可导是指函数在区间内每一点可导函数f(x)在闭区间[ab]上可导是指函数f(x)在开区间(ab)内可导且在a点有右导数、在b点有左导数7/18/202113南京中医药大学信息技术学院三、导数的几何意义1.几何意义切线方程为法线方程为7/18/202114南京中医药大学信息技术学院解所求法线方程为并写出在该点处的切线方程和法线方程所求切线及法线的斜率分别为所求切线方程为即4x+y-4=0即2x-8y+15=0,例6.求等

5、边双曲线在点处的切线的斜率7/18/202115南京中医药大学信息技术学院例7.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线7/18/202116南京中医药大学信息技术学院四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即7/18/202117南京中医药大学信息技术学院解例8讨论函数在x=0处不可导在x=0处的连续性和可导性7/18/202

6、118南京中医药大学信息技术学院内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;7/18/202119南京中医药大学信息技术学院思考与练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系?？与导函数2.设存在,则3.已知则7/18/202120南京中医药大学信息技术学院4.设,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0连续.7/18/202121南京中医药大学信息技术学

7、院解:因为5.设存在,且求所以7/18/202122南京中医药大学信息技术学院解:因为6.设存在,且求所以7/18/202123南京中医药大学信息技术学院二、反函数的求导法则三、复合函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则§2.2函数的求导法则四、基本求导法则与导数公式7/18/202124南京中医药大学信息技术学院一、四则运算求导法则定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且则7/18/202125南京中医药大学信息技术学院此法则可推广到任意有限项的情形.证:设,则故结论成立.例如,返回7/18/2