资源描述：
《高等数学讲义第二章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二章一元函数微分学§2.1导数与微分内容要点一、导数与微分概念1、导数的定义设函数y=fx）在点X。的某领域内有定义，自变量X在X。处有增量心，相应地函数增量Ay=f（兀°+Ax）一f（x0）。如果极限恤生=lim仝也上如山toAx心toAx存在，贝9称此极限值为函数/（x）在兀。处的导数（也称微商），记作f（x0）,或等，并称函数y=/（X）在点兀°处可导。如果上面的极限不存在，则称函数>'=/（兀）在点X（）处不可导。导数定义的另一等价形式，令x=x0+Ax,Ax=x-x0,贝ijr（x0）=limf（
2、X）-f（^或/认）=lim如也二如XT%X~X0力T°h单侧导数概念。右导数：M~f^=lim心HWx-x0心t（厂Av左导数：/（x0）=lim/（U）=lim・心+心）一/区）x-xQ心to-Ax则有/（x）在点兀o处可导O/（x）在点X。处左、右导数皆存在且相等。2.导数的儿何意义与物理意义如果函数y=/（x）在点心处导数/©（））存在，则在几何上/©（））表示曲线y=/（兀）在点（心，/（兀0））处的切线的斜率。切线方程：丿-/（无））=广（无））（兀一无））法线方程：”心严-忐(X-X0)(/GJH
3、O)2.函数的可导性与连续性之间的关系如果函数y=/（x）在点兀。处可导，则/G）在点无）处一定连续，反之不然，即函数）u/（x）在点心处连续，却不一定在点无°处可导。例如，y=/（x）=
4、x
5、,在兀（）=0处连续，却不可导。3.微分的定义设函数J=/（x）在点兀0处有增量Ax吋，如果函数的增量△『=/（兀0+&0-/（兀0）有下血的表达式△『=A（Ao）Ax+o（Ax）（AxtO）其中A（x°）为Ax为无关，o（Ar）是Ax—>0吋比心高阶的无穷小，则称/（兀）在X。处可微，并把心中的主要线性部分A（x0）A
6、x称为/（x）在兀。处的微分，记以dyx=Xq或clf（x）x=Xq。自变量的微分心就是心。2.微分的几何意义Ay=/（无）+心）一/（兀o）是曲线y=fM在点兀0处相应于自变量增量心的纵坐标/（无0）的增量，微分〃）*=心是曲线y=/（x）在点册0（兀0，/（无0））处切线的纵坐标相应的增量（见图）。3.可微与可导的关系/（兀）在心处可微u>/（兀）在无0处可导。且dyx^0=*（））心=fXx^dx一般地，y=/（x）则心u/©）么。所以导数厂（无）=©也称为微商。dx二、导数与微分计算1.导数与微分
7、表（略）2.导数与微分的运算法则（1）四则运算求导和微分公式（2）反函数求导公式（3）复合函数求导和微分公式（4）隐函数求导法则（5）对数求导法（6）用参数表示函数的求导公式典型例题一、用导数定义求导数例设/（兀）=（兀一a）g（x）,其中g（x）在x=a处连续，求广（。）解:/©）=lim爪）一畑二lim（兀一^（劝一°=⑷）KTaX~ClatqX~Cl二、分段函数在分段点处的可导性fx~xv]例1设函数/（X）='■，试确定a、b的值，使/（x）在点兀=1处可导。[cix+b,x>1解：・・•可导一定连续
8、，・・・/（x）在X=1处也是连续的。由/（I-0）=limf（x）=limx2=1；/（1+0）=limf（x）=lim（ox+b）=a+bXT厂XT厂XT广XtF要使/O）在点X=1处连续，必须有a+b=1或b=l-a又广⑴='⑴=lim^—!-=lim（x+l）=2x—厂X-lx一厂X-x—厂"小1-/（兀）一/⑴rax^-b- （兀一1）A（1）=lim―=lim=lim=a4广x-l4广x-l「广x-l要使/（兀）在点兀=1处可导，必须广（1）=穴（1）,即2=6/.故当a=2,h=-a=-2
9、=一1时，/（x）在点兀=1处可导.设f(兀)=limHT8兀E"g)+处+Z?~~+1,问d和b为何值时，/（X）可导，且求广（兀）解：・・・兀>1时，limfd=+oo,HT8兀vl时,lim严）=0刃一>8/（兀）=“d+b+1~2ax+b.x>,x=1,x<,由x=l处连续性，lim/(x)=limx2=1,/(1)=邑兰”=1,可知a+b=1XT广XT广2再由X=1处可导性，方(l)=lim三二型存在，"(l)=limS+b)_/(l)存在，且力⑴=厂(])AT广X-lXTl—X-12兀a根据洛必
10、达法则人⑴=lim—=2,广(l)=lim—=d,•••a=2xti+1a->f1于是b=l-a=-l2x.x>1,2，兀v1,X2,%>1,f(x)=1,X=1,f(x)=2x-l,x
