高等数学讲义第二章一元微分学

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1、第二部分一元函数微分学一、导数与微分Ø内容要点一、导数与微分概念二、导数与微分计算Ø典型例题一、用导数定义求导数例1设，其中在处连续，求解：u例2设在x=0处二阶可导，且，求的值（2005）二、分段函数在分段点处的可导性例1设函数试确定、的值，使在点处可导。例2设，问和为何值时，可导，且求解：∵时，，时，∴由处连续性，，，可知16再由处可导性，存在存在且根据洛必达法则，∴于是三、运用各种运算法则求导数或微分例1设，求例2设由方程所确定，求例3设求u例4设求（2007）u例5.设连续，且当时，，求。(2002)u例6.设为连续函数，

2、，求。(2009)16u例7.设为连续函数，且，求。(2010)四、求切线方程和法线方程例1已知两曲线与在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方程，并求。解：由已知条件可知，故所求切线方程为l例2设为周期是5的连续函数，在邻域内，恒有。其中，在处可导，求曲线在点（）处的切线方程。解：由题设可知，，故切线方程为所以关键是求出和由连续性由所给条件可知，∴再由条件可知令，又∵∴上式左边==则所求切线方程为即·16u例3求曲线在t=1处的切线方程（2008）五、高阶导数u例1设，求（2004）u例2设，求（2008）u例3设，求（2009

3、）二、微分中值定理这部分有关考题主要是证明题，技巧性比较高。Ø内容要点一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、泰勒定理Ø典型例题一、用罗尔定理的有关方法例1设在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且，.试证：必存在，使证：∵在[0，3]上连续，∴在[0，2]上连续，且有最大值和最小值.于是；；，故.由连续函数介值定理可知，至少存在一点使得，因此，且在[，3]上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必存在使得。例2设在[0，1]上连续，（0，1）内可导，且求证：存在使16证：由积分中值定理可知，存在，使得得到对在[0，c

4、]上用罗尔定理，（三个条件都满足）故存在，使例3设在[0,1]上连续，(0，1)内可导，对任意，有，求证存在使证：由积分中值定理可知存在使得令，可知这样，对在上用罗尔定理（三个条件都满足）存在，使而∴又，则罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的是非常关键，下面的模型Ⅰ，就在这方面提供一些选择。模型Ⅰ：设在上连续，（）内可导，则下列各结论皆成立。（1）存在使（为实常数）令（2）存在使（为非零常数）令16（3）存在使（为连续函数）令例4设在上连续，在（0，1）内可导，，，试证：（1）存在，使。（2）对任意实数，存在

5、，使得证明：（1）令，显然它在[0,1]上连续，又，根据介值定理，存在使即（2）令，它在上满足罗尔定理的条件，故存在，使，即从而（注：在例4（2）的证明中，相当于模型Ⅰ中（1）的情形，其中取为，取为）模型Ⅱ：设，在上皆连续，（）内皆可导，且，，则存在，使证：令，则，显然在[]上满足罗尔定理的条件，则存在，使，即证.例5设在[0,1]上连续，（0,1）内可导，，为正整数。求证：存在使得证：令，，则，，用模型Ⅱ，存在使得故则16例6设在内可导，且，求证在内任意两个零点之间至少有一个的零点证：反证法：设，，而在内，则令在上用罗尔定理[]

6、（不妨假设否则结论已经成立）则存在使，得出与假设条件矛盾。所以在内至少有一个零点例7设在[]二阶可导，且，又求证：（1）在（）内；（2）存在，使证：（1）用反证法，如果存在使，则对分别在[]和[]上用罗尔定理，存在使，存在使，再对在[]上用罗尔定理存在使与假设条件矛盾。所以在内（2）由结论可知即，因此令，可以验证在[]上连续，在内可导，满足罗尔定理的三个条件故存在，使于是成立u例8已知函数在[]上三阶可导，且，试证至少存在一点，使（2004）16二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理例1设在内可导，且，求的值解：由条件易见，由拉格朗

7、日中值定理，有其中介于与之间，那么于是，，则例2设是周期为1的连续函数，在（0，1）内可导，且，又设是在[1，2]上的最大值，证明：存在，使得。证：由周期性可知，不妨假定而，对分别在[1,]和[,2]上用拉格朗日中值定理，存在，使得①存在，使得②如果，则用①式，得；如果，则用②式，得；因此，必有，使得16例3设在[0,1]上连续，（0,1）内可导，且，，证明：（Ⅰ）存在，使得（Ⅱ）存在，，使证：（Ⅰ）令，则在[0,1]上连续，且，，用介值定理推论存在，使，即（Ⅱ）在[0,]和[，1]上对用拉格朗日中值定理，存在，使得存在，，使∴u

8、例4设在上可导，且。证明：存在内的两个数与，使。（2003）例5设函数在闭区间[]上连续，在开区间（）内可导，且，若极限存在，证明：（1）在内；（2）在内存在，使；（3）在内存在与（2）中相异的点，使证：（1）因为存在，故，由在[]上连续，从而.又