高等数学考研讲义第二章

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1、第二章一元函数微分学§2.1导数与微分（甲）内容要点一、导数与微分概念1、导数的定义设函数在点的某领域内有定义，自变量在处有增量，相应地函数增量。如果极限存在，则称此极限值为函数在处的导数（也称微商），记作，或，，等，并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在，则称函数在点处不可导。导数定义的另一等价形式，令，，则我们也引进单侧导数概念。右导数：左导数：则有在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。2．导数的几何意义与物理意义如果函数在点处导数存在，则在几何上表示曲线在点（）处的切线的斜率。切线方程：49法线方程：设物

2、体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为，如果存在，则表示物体在时刻时的瞬时速度。3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数在点处可导，则在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导。例如，，在处连续，却不可导。4．微分的定义设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式（）其中为为无关，是时比高阶的无穷小，则称在处可微，并把中的主要线性部分称为在处的微分，记以或。我们定义自变量的微分就是。5．微分的几何意义是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量，微分是曲线在点处切线的纵坐标相应的增量（见

3、图）。6．可微与可导的关系在处可微在处可导。且一般地，则49所以导数也称为微商，就是微分之商的含义。7．高阶导数的概念如果函数的导数在点处仍是可导的，则把在点处的导数称为在点处的二阶导数，记以，或，或等，也称在点处二阶可导。如果的阶导数的导数存在，称为的阶导数，记以，，等，这时也称是阶可导。二、导数与微分计算1．导数与微分表（略）2．导数与微分的运算法则（1）四则运算求导和微分公式（2）反函数求导公式（3）复合函数求导和微分公式（4）隐函数求导法则（5）对数求导法（6）用参数表示函数的求导公式（乙）典型例题一、用导

4、数定义求导数例设，其中在处连续，求解：二、分段函数在分段点处的可导性例1设函数试确定、的值，使在点处可导。解：∵可导一定连续，∴在处也是连续的。由49要使在点处连续，必须有或又要使在点处可导，必须，即.故当时，在点处可导.例2设，问和为何值时，可导，且求解：∵时，，时，∴由处连续性，，，可知再由处可导性，存在存在且根据洛必达法则，∴于是49三、运用各种运算法则求导数或微分例1设可微，，求解：例2设，求解：对求导，得再令，，对求导，，∴于是（）例3设由方程所确定，求解：两边取对数，得，对求导，，49例4设求解：四、求

5、切线方程和法线方程例1已知两曲线与在点（0，0）处的切线相同，写出此切线方程，并求。解：由已知条件可知，故所求切线方程为例2已知曲线的极坐标方程，求曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程。解：曲线的参数方程为故切线方程即法线方程即49例3设为周期是5的连续函数，在邻域内，恒有。其中，在处可导，求曲线在点（）处的切线方程。解：由题设可知，，故切线方程为所以关键是求出和由连续性由所给条件可知，∴再由条件可知令，又∵∴上式左边==则所求切线方程为即五、高阶导数1．求二阶导数例1设，求解：49例2设求解：例3设由方程所确

6、定，求解：，2．求阶导数（，正整数）先求出，总结出规律性，然后写出，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的阶导数公式（1）（2）（3）（4）（5）两个函数乘积的阶导数有莱布尼兹公式其中，，49假设和都是阶可导例1设（正整数），求（正整数）解：例2设，求（正整数）解：例3设，求（正整数）解：……例4设，求（正整数）解：例5设，求（正整数）解：用莱布尼兹公式49§2.2微分中值定理本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式）。[注：数学三不考泰勒定理，数学四不

7、考泰勒定理]这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。（甲）内容要点一、罗尔定理设函数满足（1）在闭区间[]上连续；（2）在开区间（）内可导；（3）则存在，使得几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线；[包括点A和点B]。条件（2）说明曲线在之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于轴的切线[不包括点和点]。条件（3）说明曲线在端点和处纵坐标相等。结论说明曲线在点和点之间[不包括点和点]至少有一点，它的切线平行于轴。49二、拉格朗日中值定理设函数满足（1）在闭区间[]上连续；

8、（2）在开区间（）内可导则存在，使得或写成有时也写成这里相当或都可以，可正可负。几何意义：条件（1）说明曲线在点和点之间[包括点和点]是连续曲线：条件（2）说明曲线[不包括点和点]是光滑曲线。结论说明：曲线在，之间[不包括点和点]，至少有点，它的切线与割线是平行的。推论1若在内可导，且，则在内为常数。推论2若和在（）内可导，且，则在内，其中为一个常数。（注：