高等数学讲义 第二章 极限与连续课件.ppt

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1、第二章极限与连续§1.数列的极限1.数列单调数列：有界数列：2.数列的极限如果当n无限增大时,xn无限地接近于常数a,那末称a为数列{xn}的极限。定义：设一数列{xn}和一个常数a,如果对于任意给定的正数（不任多么小）,总存在正整数N，使得对于满足n>N的一切xn都有

2、xn–a

3、<成立，那末称数a为数列{xn}当n→+∞时的极限。这即为数列极限的“–N”定义，可简写为例1.用极限“–N”定义验证怎么办呢？？没有必要！例2.用“–N”语言验证可以吗？表示n很大时，xn几乎都凝聚在点a的近旁。数列极限的几何解释有极限的数列称为收敛数列，

4、反之称为发散数列。()a-n>Na+a•3.收敛数列的性质定理1（唯一性）若数列{xn}收敛，则其极限值唯一。定理2（有界性）收敛数列必有界(••())AB0••a()4.极限存在准则准则1.单调有界数列必有极限。有界是数列收敛的必要条件，单调有界是数列收敛的充分条件。例9.判别数列{xn}的敛散性§2.函数的极限“–X”定义可简记为：1.当x→∞时函数的极限定义1.设有一函数f(x)，对于绝对值无任怎样大的x值是有定义的，A为一常数，如果对于任意给定的正数，总存在一个正数x，使得当

5、x

6、>X时，恒有

7、f(x)–A

8、<成立，则称A为函

9、数f(x)当x→∞时的极限例1.用“–X”定义验证几何解释作直线y=A–，y=A+总存在一个X>0,当

10、x

11、>X时，函数位于这两条直线之间。在定义1中，把

12、x

13、改为x，即得x→+∞时的极限把

14、x

15、改为-x，即得x→-∞时的极限X-X0xyA+εA-εA无极限举例：2.当x→x0时函数的极限。“-”定义可简记为：定义2.设f(x)在点x0的某个邻域内有定义（x0本身可除外）且A为一常数，如果对于任意给定的正数，总存在一个正数，使得当0<

16、x-x0

17、<时,

18、f(x)-A

19、<,则称A为函数f(x)当x→x0时函数的极限.怎么办？几何

20、解释作直线y=A-,y=A+总存在一个>0,当0<

21、x–x0

22、<时，函数位于两直线之间。x0-δx0+δ0xyAA+εA-εx0定理2（函数极限的保号性）左、右极限=1?无极限举例在讨论分段函数的分割点的极限时，一定要考虑左、右极限。“0”是作为无穷小的唯一的常数。§3.无穷小和无穷大1.无穷小定义：极限为零的数列和函数称为无穷小。定理2.设为无穷小，u有界，则u也是无穷小。推论1.常数乘以无穷小仍是无穷小。推论2.无穷小乘以无穷小仍是无穷小。推论：有限个无穷小的和仍为无穷小。有限个无穷小的乘积仍是无穷小。定理1.设和为无穷小

23、，则也是无穷小定理3(极限与无穷小的关系)定义：绝对值无限增大的数列或函数称为无穷大。2.无穷大注意：无穷大与无界的区别。§4.极限运算法则1.两个重要极限§5.两个重要极限定理1（函数的夹逼定理）0xAPBC两个无穷小的商实际反映了在变化过程中趋于零的速度快慢程度。为此引入定义两个无穷小的代数和、积仍为无穷小，那么两个无穷小的商会是什么样呢？2.无穷小的比较3.无穷小的主部４.等阶无穷小的代换定理当x0时，常见的等价无穷小§6.函数的连续性连续的三个要素：1.函数的连续性定义1　设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,如果当自变量增

24、量Δx趋于零时，对应的函数增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)也趋于零，那末称函数f(x)在x0处连续。f(x)在x0点处有定义、有极限、极限值等于函数值。定理1.　函数f(x)在点x0处连续的充要条件是：函数f(x)在点x0处既左连续又右连续。左、右连续如果f(x)在(a,b)内任意一点连续，则称f(x)在(a,b)上连续，或称f(x)为(a,b)上的连续函数。如果f(x)在(a,b)上连续，且在x=a右连续，在x=b处左连续，则称f(x)在[a,b]上连续。２.函数的间断点间断点的常见类型如果函数连续的三个要素中有一个不满足，那末称f(x

25、)在x0处间断。无穷间断点震荡间断点左、右极限均存在的间断点,称为第一类间断点，其余的间断点,称为第二类间断点。跳跃间断点可去间断点2.连续函数的运算及初等函数的连续性定理4.如果函数y=f(x)在某个区间上严格单调增(或降)且连续，那末它的反函数x=(y)在对应的区间上也严格单调增(或降)且连续。推论：闭区间上的连续函数是有界函数。定理5.(最大值、最小值定理)４.闭区间连续函数的性质结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。闭区间上连续的函数至少取得最大值，最小值各一次。定理6.(介值定理)推论2　闭区间上连续函数必可取得介于最大值最小

26、值之间的任何值推论1　(零值定理)如果f(x)在[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0,那末在开区间(a,b)内至少存在一点使得f()=0　(