高等数学 第二章 极限与连续 2.2 函数的极限.ppt

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1、高等数学—第二章极限与连续第二节函数的极限自变量变化过程的六种形式：本节内容:一、时，函数f(x)的极限二、时，函数f(x)的极限三、左极限与右极限四、关于函数极限的定理一、时，函数f(x)的极限例如函数注：是指x沿x轴正向和负向同时趋于。当无限增大时，函数值y无限接近于常数1。定义2.3对于函数f(x)，则称当x记作趋于无穷大时，函数以A为极限，几何解释:若例1证明证明：取因此，就有故欲使即设两种特殊情况:当时,有当时,有例2用定义证明证明：对要使只要即因此，取当x>M时,有恒成立，即设练习：用定义证明二、时，函数f(x)的极限考虑函数和的图像。很明显，当和均无限接近于2。时，函数

2、定义2.4在点的某去心邻域内有定义,设函数当时,有则称常数A为函数当时的极限，或若记作注意：（1）A为唯一确定的有限常数；（2）表示x从的左右两侧同时趋于；（3）极限A的存在与否与f(x)在处有无定义无关。证明：例3证明设对于任意给定的要使只要取即有，当时，恒成立，因此例4证明证明:故取当时,必有因此练习用定义证明三、左极限与右极限考虑函数在x=0处的极限.当x仅从0的左侧趋于0时，f(x)趋于1（左极限）；当x仅从0的右侧趋于0时，f(x)趋于0（右极限）。左极限：当时,有右极限：当时,有定义2.5例如，定理2.1（极限存在的充要条件）四、关于函数极限的定理注意：左右极限都存在且相

3、等时，函数才存在极限。这里A必为有限常数。如前例中，因则不存在。讨论时，的极限是否存在.解:利用定理2.1，因为显然，所以不存在.例5设函数讨论当例6的极限。时，函数解：因此，由定理2.1可知，练习定理2.2（极限的保号性）如果而且A>0(或A<0)，则总存在使得当时，有(或证明:已知即当时,有当A>0时，取正数则在对应的邻域(<0)上有定理2.3如果并且证明:反证法.则由定理2.2，的某去心邻域，使在该邻域内与已知所以假设不成立，即(同样可证的情形。)存在不妨设A<0，条件矛盾，1.观察下列函数的变化趋势练习返回本章目录