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时间:2020-01-23
《高等数学 第二章 极限与连续 2.2 函数的极限.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高等数学—第二章极限与连续第二节函数的极限自变量变化过程的六种形式:本节内容:一、时,函数f(x)的极限二、时,函数f(x)的极限三、左极限与右极限四、关于函数极限的定理一、时,函数f(x)的极限例如函数注:是指x沿x轴正向和负向同时趋于。当无限增大时,函数值y无限接近于常数1。定义2.3对于函数f(x),则称当x记作趋于无穷大时,函数以A为极限,几何解释:若例1证明证明:取因此,就有故欲使即设两种特殊情况:当时,有当时,有例2用定义证明证明:对要使只要即因此,取当x>M时,有恒成立,即设练习:用定义证明二、时,函数f(x)的极限考虑函数和的图像。很明显,当和均无限接近于2。时,函数
2、定义2.4在点的某去心邻域内有定义,设函数当时,有则称常数A为函数当时的极限,或若记作注意:(1)A为唯一确定的有限常数;(2)表示x从的左右两侧同时趋于;(3)极限A的存在与否与f(x)在处有无定义无关。证明:例3证明设对于任意给定的要使只要取即有,当时,恒成立,因此例4证明证明:故取当时,必有因此练习用定义证明三、左极限与右极限考虑函数在x=0处的极限.当x仅从0的左侧趋于0时,f(x)趋于1(左极限);当x仅从0的右侧趋于0时,f(x)趋于0(右极限)。左极限:当时,有右极限:当时,有定义2.5例如,定理2.1(极限存在的充要条件)四、关于函数极限的定理注意:左右极限都存在且相
3、等时,函数才存在极限。这里A必为有限常数。如前例中,因则不存在。讨论时,的极限是否存在.解:利用定理2.1,因为显然,所以不存在.例5设函数讨论当例6的极限。时,函数解:因此,由定理2.1可知,练习定理2.2(极限的保号性)如果而且A>0(或A<0),则总存在使得当时,有(或证明:已知即当时,有当A>0时,取正数则在对应的邻域(<0)上有定理2.3如果并且证明:反证法.则由定理2.2,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不成立,即(同样可证的情形。)存在不妨设A<0,条件矛盾,1.观察下列函数的变化趋势练习返回本章目录
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