丘成桐谈几何分析

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1、尽管几何学历史悠久，成果辉煌，我们也别忘了它不是一成不变的，而是演进的，在不断地自我更新。其屮，新近的一个变革已经在弦理论初露锋芒，它叫几何分析，是近几I-年才人行其道的方法。人致说来，这方法的目标是，发挥数学分析（微积分的高等形式）方法的威力来认识几何现象，反过来也凭借几何的肓觉来理解分析。这当然不会是几何的最示变革一—像我们说的其他革命一样——几何分析已然取得了很多令人难忘的成功。我木人从1969年进入这个领域的，那是在们克利读研究生的第一学期。我想在圣诞假期读一本书,我没选什么Portnoy'sComplaint,TheGodfather,,TheLoveMac

2、hine,或TheAndromedaStrain——它们是当年的畅销书，而是找了木不太通俗的《莫尔斯理论》，是美国数学家Milnor的讲义。我特别感兴趣的是Milnor关于拓扑和曲率的章节，它发掘了局域曲率会极人影响几何和拓扑的思想。那是我一肓探求的问题，因为曲面的局域曲率是通过曲而的导数来确定，这等于说它就是以分析为基础的。于是，曲率如何影响几何，就成了几何分析的核心问题。那时候我没有办公室，几乎就住在伯克利的数学图书馆。有人说我刚到美国做的头一件事情就是去那个图书馆，而不像其他人那样去逛I口金山。四十年过去了，我自己都记不清做了什么，所以也没理由怀疑那个传说。我像

3、往常一样，徜徉在图书馆，阅读能拿到的每一木朵志。寒假吋，我在参考书部找书，偶然看见了Milnorl968年的一篇文章，那吋还在读他那木讲义。文章捉到AlexandrePrcissman定理，乂引起了我的兴趣。因为无事可做（很多人都出去度假了），我就想看看自己能不能试着证HJ]Preissman定理的一些东西。Preissman察了给定曲而上的两个非平凡圈A和B。圈就是一条曲线，从曲而某一点出发，以某种方式缠绕曲而，然后回到起点非平凡”是说那个圈不能在曲而上收缩到一点。我的定理比Preissman的更普遍些，它适用于曲率为非正（即可以为负，在某些地方也可以为零）的空间。

4、为证明这种更一般的情形，我需要用群论，以而它与拓扑和微分儿何还没发牛:联系。……我考虑的群（即大家知道的基本样）的元素山曲而上的圈组成，如而而捉到的A圈和B圈。具冇非平凡圈的空间，也冇非平凡的基木群（反过来说，假如每个圈都能收缩到一点，我们就说空间冇一个平凡的基本群。）我证明，如果两个元索是交换的，AxB=BxA,那么在曲面内部必然存在一个低维的“了曲面”——特别是一个环面……在我的定理（基于Preissman的工作）的情形，那两个圆由圈A和B代表。Preissman和我的工作都是技术性很强的，可能显得晦涩。但重要的是，我们两个的论证都说明了曲面的整体拓扑会如何影响它

5、的整体儿何，而不仅是局域的儿何。Z所以如此，是因为圈在这个例了中决定了基木群，而棊本群是空间的整体而非局域的特征。为说明一个圈可以连续变形为另一个圈，我们必须在整个曲面上移动，这就使它成为空间的整体性质。实际上，这正是当今儿何学的一个主要课题——探究给定的拓扑能支持什么类型的整体儿何结构。……我发现，答案可能就在我上的一门非线性偏微分方程的课程里。讲课的CharlesMorrey教授给我留下了深刻印象。他的课，主题一点儿不新鲜，要求却很高，是从他木人写的一木教科书屮选取的，根木就读不下去。不久以示，别人都逃课了，只有我一个人留下。很多同学都跑出去抗议轰炸柬埔寨。不过，

6、Morrey述是坚持讲他的课，而且显然为备课付出了人量心血，即使课堂上只有一个学生。Morrey是偏微分方程的人师，他发展的技术「分深刻。坦白说，Morrey的课为我后來的数学生涯打下了良好的棊础。……几何也需要微分方程。我们用这种方程来度量物体的曲率及其变化方式。这使得几何也成为物理学的基木需求。举一个简单的例了：滚动的球是否加速——即速度是否随时间变化——完全取决于球的轨迹的曲率。因为这一点，1111率才与物理学那么密切相关；也因为这一点，几何——关于曲率的“空间的科学”——才会在那么多的物理学领域有用武之地。物理学的基木定律是局域的，意思是它们可以描述特殊区域（

7、局域化）的行为，而不能同时描述不同地方的行为。即使对试图描述整个时空曲率的广义相对论，也是如此。毕竟，描述曲率的微分方程祁是对单个点求导数。这就给物理学带来一个问题。“所以，你用局域的如曲率之类的信息去判断整个事物的结构，”洛杉矶加州大学的数学家RobertGreene说，“问题在于怎么做。"……“曲率主宰拓扑''是我们儿何学家信奉的基本口号，而我们借以实现那个目标的工貝就是微分方程。儿何分析——这是相对新近的发展，我们马上就会说它——将这一思想推得更远，但在儿何里融入微分方程的一般方法已经发展儿百年了，儿乎可以追溯到微积分的起源。十八世纪的瑞士大数