丘成桐院士演讲：现代几何的发展——丘成桐

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1、中数网——http://www.cnmaths.com丘成桐院士演讲：现代几何的发展丘成桐记录：林信安（师大数研所一年级）今天我要讲讲几何的发展，当然这其中有些是我个人的观点，不一定每个人会同意。谈到几何的对象与方法可分为动态与静态两方面，静态就是几何图形，动态是指几何图形经过运动而成为另一个几何图形的过程，目前尚未了解很多。几何的研究与自然现象是很贴近的，亦与基本物理、工程有着密切的关系，自然界的现象可分为抽象美的几何、基本物理、工程，几何就是从这三方面推导出来的，而几何的研究也会影响这三方面的研究，总而言之，这三方面对几何的影响是互相的。从前埃

2、及时代主要研究平面、立体几何，这当然是因为有工程上的需要，顺着科学的发展，到了牛顿力学发展后，平面几何已不够去描述运动现象，于是有微积分的产生，有了微积分，就可以讨论曲线、曲面；另一方面，Euler、Lagrange为了应用积分到流体，因而有了变分法的发展。18世纪变分法引进几何，是几何上重大的发展，这影响到了后来微分几何的研究。18世纪微分几何的问题是集中在研究曲线（直线与平面的关系），另一方面也开始研究一个嵌入R3的曲面，这是从Gauss开始的，Gauss对微分几何主要的贡献是研究Gauss曲率与内在几何间的关系。内在性是指只与度量有关而与曲面

3、在空间中写法无关，例如一张纸曲率K=0，将其卷起来，intrinsicgeometry，不变曲率K=0，但extrinsicgeometry有变化，而Gauss就是证明了Gauss曲率为intrinsicgeometry的不变量。另一方面ComplexAnalysis的引进，对微分几何的研究有很深的影响，ComplexAnalysis的引进，对微分几何的研究有很大的影响，ComplexAnalysis是为了研究流体力学，而发展出来的；第4页共4页中数网——http://www.cnmaths.comLobatchevsky研究曲率K=-1的双曲空间

4、，这个研究与平行公理有很大的关系，这是几何发展的重要里程碑。19世纪G.B.黎曼继承Gauss的思想，将2维的曲面之研究，推广到高维空间上，而形成了黎曼空间，这个空间形成之后，为几何的研究开启了新的一页。(M1,d1)(M2,d2)何时可以将他们看成同一空间，即何时可找到使距离没有变化，i.e.，例如将卷起来的纸摊平这是几何上一个很重要的问题，是唯一性的问题。一般而言，曲率K是一个重要的invariant。例如，一张平坦的纸K=0无论如何不能"相等"于球面K=1，后来又引进了连络(connection)，这是微分的推广，主要是Christoffel

5、，Ricci，Levi-Civita等人的贡献，它们不是在平坦的空间中研究微分的问题，发现一般平坦的空间，，但是在不平坦的曲面上与曲面的曲率有关。19世纪末期，FlexKlein认为大部分的微分几何可用李群（或离散群）去解释，很多几何对象可看成homogeneousspace，当初很多人认为很多微分几何的现象不能看成变换群，到了E.Cartan对李群的分类有很大的影响，他引进了活动标架法，20世纪初期，Cartan、FlexKlein对几何的看法与Gauss、黎曼的几何方法结合，才得出一种新的方法-活动标架法。Poincaré考虑变分法在微分几何上

6、的应用，他是考虑测地线(geodesic)的问题：在R3上的封闭曲面上，找一条封闭的测地线，例如第4页共4页中数网——http://www.cnmaths.com在球上的大圆Morse则将此问题考虑到高维度上，如何去找封闭测地线，有关测地线的问题尚有，在二维的封闭曲面上至少有3条不相交的封闭测地线，这是很有名的问题，直到最近才有较详细的证明。Morse理论在微分几何，工程上有很大的贡献，开始了微分几何上大范围的几何研究。测地线的问题在高维度上的推广是最小曲面(minimalsurface)的问题，最初是Weierstrass引进ComplexAna

7、lysis的方法，这是ComplexAnalysis影响微分几何的一个例子。从测地线，最小曲面的研究，微分方程开始对微分几何的研究产生影响，近十年来，这方面的发展尤其神速，但对非线性拋物型偏微分方程我们尚不明了，因此对于动态的几何并不清楚。例如Rauch考虑固定两点的测地线，研究不是最短距离的测物线，而考虑index理论经过扰动(Perturbation)后的情形，而index理论是由O.D.E中的Sturm-Liouville来的，Rauch发现曲率与拓朴性间有密切的关系，这是从Morse理论得到的。在大域几何方面，Gauss-Bonnet定理，

8、（其中M第4页共4页中数网——http://www.cnmaths.com为定向二维紧致曲面）是一个代表，陈省身先生将这个