丘成桐-几何观点看相对论

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1、丘成桐：从几何的观点谈相对论2016年01月25日14:09来源于 财新网我从事广义相对论研究已经四十多年，参与了整个广义相对论的发展。今天，我想从几何的观点来讲讲广义相对论。　　（一）黎曼几何：改变人类的时空观　　如果没有黎曼几何的发展，爱因斯坦将会需要更多的时间来创立伟大的广义相对论。值得一提的是，他的博士论文全部是通过他自己想象写出来的。　　现代几何学的发展推动我们对于空间的认识。黎曼（BernhardRiemann）和他的老师高斯（JohannCarlFriedrichGauss）毫无疑问是现代几何学的两位奠基人。高斯是现代

2、几何学的先父，而真正的创始人可能是黎曼。　　黎曼的一生短暂，只在世40年，就英年早逝。他的学术生涯虽然只有短短16年，但是他发表的每一篇文章都开创了整个几何和数学不同方面的领域，尤其是现代几何。1854年，黎曼在《论关于作为几何学基础的假设》的讲师资格论文中开启了现代几何学的概念。黎曼几何这一漂亮的理论变革了人们对古希腊几何学家所引入的空间的认识。可以说如果没有黎曼几何的发展，爱因斯坦（AlbertEinstein）将会需要更多的时间来创立伟大的广义相对论。值得一提的是，他的博士论文全部是通过他自己想象写出来的，除了高斯的一些工作以

3、及赫尔巴特（JohannFriedrichHerbart）的哲学作品，黎曼可以借鉴的文献很少。　　黎曼开创几何最重要的目的是解释物理现象，他认为：几何学定理无法从一般的量纲概念导出，而必须借助那些可以区分空间和其他实体的性质。这些性质只能通过实验发现......我们只能研究他们的可能性，判断是否可以将其延拓到可观察范围之外，不可测量的巨大或微小......或者空间所依存的物理现实是一个离散的多样体，或者它的度量关系的基础需要追溯到它的元素的结合力的外部来源......　　我们现代的几何学是包括了几何、分析与数学物理的一门综合的科学。

4、这正是黎曼160年前研究几何学时采用的观点。与黎曼同时代的数学家中，最重要的一个人是柯西（Cauchy）。柯西和黎曼都是复分析的奠基人，但黎曼与柯西不同的是，他从几何和微分方程的观点来研究复分析，引进了“黎曼面”的基本概念。这个概念是19世纪和20世纪最重要的概念之一，影响到高能物理的发展。　　黎曼还是第一位引入独立于欧氏几何的空间概念的学者。他用坐标来测量长度，面积和曲率等几何量。他希望这些值与坐标的选取无关，这叫做等效原理，是爱因斯坦后来用作推导他的场方程的一个基本假设。爱因斯坦受到黎曼工作的深刻影响。　　黎曼还引入了黎曼曲面的

5、抽象概念。他设想所有自然存在的光滑二维曲面都可以描述为黎曼曲面。这个发现很重要，黎曼面被应用到不同的物理范畴中。在过去30年中，物理学家对一种称为超弦的理论极度着迷，根据这一理论，粒子是时空中振动的微小的弦。振动中的弦扫出一张二维曲面。黎曼观察到二维曲面存在一种全纯函数赋予的结构，也即共形几何。这启发了共形场论的诞生。现代粒子物理学家的工作依赖于对这些共形结构的深刻理解。黎曼面在日常生活中也有应用，比如计算机图形学和地图绘制。　　黎曼以后，庞加莱（JulesHenriPoincaré）推进了几何发展。庞加莱在19世纪后期证明推广了黎

6、曼的单值化定理。这是一个很重要的定理，影响到今天多维空间的发展。　　黎曼几何的主要奠基人是三位意大利学者：列维·齐维塔（Levi-Civita,）、克里斯托费尔（ElwinBrunoChristoffel）和路易吉·比安基（LuigiBianchi）。由于身体不佳，黎曼临终前几年都在意大利过冬疗养，他在意大利的四年影响了一批学者。其中前述三位学者成功发展了黎曼流形的微积分。　　（二）数学的美与爱因斯坦方程　　当爱因斯坦最后成功解释天体现象的时候，有人问爱因斯坦，假如你观测到的天象和你的理论有不同的时候，你会怎么讲？爱因斯坦讲，“我会

7、替造物者惋惜，居然不懂得用到这样漂亮的理论。”　　1905年，当爱因斯坦在洛伦兹和庞加莱的帮助下发现狭义相对论时，人们认识到三维空间与时间是不可分割的。时空的数学定义由爱因斯坦的老师闵可夫斯基（HermannMinkowski）给出。他引入一个与黎曼度量类似的新度量，找到一个以罗伦兹群为等距变换群的黎曼空间，用来描述狭义相对论的几何基础。　　闵可夫斯基的发现对于希望统一狭义相对论和牛顿力学的爱因斯坦来说是一个很大的启发。当时，这两个理论是不兼容的。所有的信息不能超光速传递，这是狭义相对论的要求。可是牛顿力学是要求超距作用的，太阳重力

8、场影响地球的转动，是同一个时间，根本不用光速，它就传达到地球来了。前者要求信息低于光速传播，而后者要求超距作用。爱因斯坦对这两个理论矛盾的研究引入了等效原理，提出运动方程由等效原理决定：引力定律不受观测方式或坐标选择的影响。通过思想实