布朗运动(论文)

《布朗运动(论文)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、浅谈布朗运动冯涛青海民族学院电了工程与信息科学系810007摘要：布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程，是一个最基本、最简单同吋又是最重要的随机过程。关键词：布朗运动、马尔科夫随机函数；性质及推导；应用OntheBrownianmotionAbstract:Brownianmotionasacontinuoustimeparameterandthecontinuousstatespaceofarandomprocess,isamostbasic,simpleatthesametimeisthemostimportantstoc

2、hasticprocess-Keywords:Brownianmotion,Markovrandomfunction;thenatureandderivation;Application一、关于布朗运动的性质及推导。标准布朗运动的定义是一个随机函数X(0(rGT),它是维纳随机函数。它有如下的一些重要性质。(1)、它是高斯随机函数。2刊一$)(2)、它是马尔科夫随机函数。它的转移概率密度是：f(t-s,y-x)=^-P[X(/)

3、运动，则卜-列各个随机函数也是标准布朗运动。1)、Xi(t)=cX(t/c2)(c>0为常数，t$0)2)、X2(r)=X(r+/?)-X(/?)(h>0为常数，t20)3)、兀⑴屮灯)(，〉0)[oa=0)(4)、标准布朗运动的协方差函数C(s9t)=a2min(5,r)e证明如下。已知C(s9t)={X(s)X(t))-(X(s))(X(t)},当svt时,(X(s))={X(s)-X(0))=0f故右方第二项为零。右方第一项(X(s)X(t))=-(X(s){X(t)-X(s)+X(s)])=(X(s)){X(t)-X(s))+(X2(s)

4、}其中由于相互独立，故〈X(s)[X(/)-X($)]〉=〈[X($)-X(O)][X(O-X(s)]〉=〈X(s)〉〈X(r)-X($»按定义知此项为零。于是山维纳过程的性质知：C(.y,r)=(X2C0)=([XCv)-X(0)]2)=a25如果t

5、布朗运动是可微的，则按均方可微的意义应有:lim/?->()=oo它表明：lim/jtO(X(z+/2)-X(0、2二〈(MM)在上面的计算过程中应用了维纳随机函数的第(2)性质。这和前一式相矛盾。故布朗运动不是均方可微的。关于布朗运动作为物理学中的动力学过程，存重要意义的是朗之万方程。设布朗粒子的质最为m,它在水平血x方向所受到的力分为两个部分。一是与速度成正比的液体阻尼力,—是液体分子对粒子碰撞引起的随机力F(/)o于是按照牛顿的质点力学定律，和朗粒子在水平而x方向的运动方程为:m—+aV=F(t)dt此方程成为朗Z万方程。一般阳言方程应该是

6、三维的，为简单起见只讨论一维的情形。为简化记号dV可令(3=alm,A(t)=F(t)/m.于是，上式成为单位质量的算式。BP：——+〃V=A(/)dt此方程强烈的依赖于人⑴的性质。对■人⑴有下列儿个经过实验检验的假设：①A⑴与v无关；②(A(/)}=0；③〈A(f)A($»oc》a—s)。这授后一个条件反映了V⑴的马尔科夫性质°因为V对时间的一阶微分方程的解完全决定于f吋的初始条件°如果方程中的随机加速度4(。(也就是作用于单位质最的随机力)具有所设定的》函数相关，贝'Jr

7、时间的延续£,例如〈A(f)A($)〉-。即使给定了心时刻的速度V仏)，在。区间内的随机加速度人⑴还会影响到GV/V4+£/2区间内的运动。这样,t>tQ时的运动不完全决定于5时刻的初始条件。即后一种相关函数会破坏U（r）的马尔科夫性质。对照可知，这种函数相关的随机力冇白噪声随机函数的性质。二、布朗运动理论的应用。现在人们研究布朗粒了的运动，除了因为它在历史上对分了运动理论的确立起重要作用。1、用布朗运动理论研究仪器的灵敏度测量仪器中的活动部分（如分析天平的称盘，悬线电流计的线圈等）在气体分子的不平衡碰撞下也会产生布朗运动.随着科技的发展，仪器的

8、灵敏度越來越高，布朗运动对灵敏度的影响已成为现代精密测量屮一个不可忽视的因索.在近代无线电技术（如卫星通讯）屮，市于放大倍数很高，电涨落