三.布朗运动2

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1、随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess与布朗运动相关的随机过程1.n-维标准布朗运动设Wk={Wkt,t≥0}是标准布朗运动，k=1,2,…n.如果W1,…,Wn,相互独立,则称(W1,…,Wn)是n-维标准布朗运动.西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess可以用二维和三维标准布朗运动描述平面和空间中的布朗运动的质点。问题：设(W1W2)={

2、W1t,W2t，t≥0}是二维标准布朗运动.试计算当第一个过程首次达到给定水平z>0时，第二个过程的一维分布.西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess22.(,)µσ−布朗运动设µσ∈>R,0，定义2µσ,B=µσtW+tt22µσ,,µσ则称随机过程BB={,t≥0}为t2(,)µσ−布朗运动.西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisti

3、csXidianUniversity随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess2例3.3.1计算(,)µσ−布朗运动的均值函数和相关函数.西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess2例3.3.2验证(,)µσ−布朗运动是正态过程.提示：考虑增量22µσ,,µσBB−,(k=1,2,,n)ttkk−1相互独立且服从正态分布：2N((µσtt−−),(

4、tt))kk−−11kk西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcessσ=1时，称为带有漂移系数µ的布朗运动.带漂移的布朗运动可用质点在直线上的非对称随机游动逼近.带漂移的布朗运动可以刻画工程、物理以及金融领域的诸多现象。西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity随机过程引论2014秋季学期Introduct

5、iontoStochasticProcess对逐渐劣化的系统来说，其劣化过程可以用一个带漂移参数的布朗运动描述：XtWt=µσ,0+≥tt1.预防维修策略问题当过程的状态为b时系统失效，此时可通过费用为R的维修返回良好状态0.若在该过程的状态为x(x

6、rocess设有一自融资金且无消费的单身汉计划T时结婚，他在[0,T]期间的t时刻将财产Xt中的Yt用于买股票，Xt–Yt用于买债券.若要在T时财产达到Xt=Z,则在[0,T]做怎样的投资策略？该问题转化为求解下列倒向参数随机微分方程.dX=f(X,Y)dtY−dWttttt此为带漂移的布朗运XZT=动的微分形式.其中，fr(X,Y)=+−+−rX(br)Y(R)(X−Y)ttttttrR>0为债券利率，为市场贷款利率，一般R>r.西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity随机过

7、程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess3.布朗桥对任意的t∈[0,1],定义brB=W−tWtt1brbr则称随机过程B={B,t∈[0,1]}为0到0的t布朗桥.西安电子科技大学——数学与统计学院冯海林SchoolofMathematicsandStatisticsXidianUniversity随机过程引论2014秋季学期IntroductiontoStochasticProcess例3.3.3计算布朗桥的均值函数和相关函数.例3.3.4验证