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《素数的性质及研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、姓名：朱海英学号:201415010124班级：师范一班专业：数学与应用数学指导教师：王宏仙素数的性质及研究一、素数定义一个整数aHO,它的所有倍数为：qa,q二0,±1,±2……这个集合是完全确定的。零是所有非零整数的倍数。对于一个整数bHO,显然±1,土b—定是b的约数，它们称为b的显然约数,b的其它约数（如果有的话）称为b的非显然约数。由显然约数的定义引出素数的定义。定义：设整数PHO,±1,如果它除了显然约数±1,±P外没有其它的约数，那么，P就称为素数，若a^O,±1,且，不为素数，则a为合数。本文所说的素数均为正数。我们已定义了素数的定义，下面我们来介绍素
2、数的性质。二、素数的性质性质1：若P为素数，Vaez,贝!Jpla或（p,a）二1。证：设（p,a）=d,则有dip,又P为素数.・・・d=l或P,即（P,a）=l或Plao性质2：设p>l,PWZ,Va,beZ,若plab,则pla或plbop为素数。证：“=>”,p>l,PWZ,设P为合数，则p二cd（l〈c〈-d〈p）,则p二cd,但P不整除c,d,得出矛盾，・・・P为一个素数。“u”，p〉l,PeZ,P为素数，设P不整除/则（P,a）-l,A3s,tGZ,有sp+at=l..sbp+abt=b＜「•plb。同理可得，plao性质3：相邻两素数比值的极限为1,
3、BPlimn_-^=l,为第nHn+1个素数。由性质3得出推论1。推论1：m为正整数，a为任意正整数，Pr表示不大于的最大的素数，贝!)有lilUn*证：由于素数无限，时，P厂,用匕+1表示大于的第一个素数，则有Pr+1>ma,则有1W詈W牛1,由性质3可得,limnT8(孕)=1，故1叽-8(罟)=1,命题得证。素数具有上述几个基本性质，下面来探讨素数的其它性质与定理。定理1：大于2(5除外)的素数的4次方个位数字必为1。证：p为素数，且p>2(5除外)，则P的个位数字必为1,3,7或9。(10n+4)4=l(modlO)n€Z+(10n+3)4三l(modlO)n
4、GZ+(lOn+9)4=l(modlO)nGZ+命题得证。性质4：大于2(5除外)的素数的8次方个位数字必为1。证：由定理1可直接证出。由定理1和性质4,猜想得：定理2：大于2不是5的素数的4k(keZ+)次方的个位数字必为1。证：用数学归纳法当k习时，由定理1可直接得出。设当k二in时，结论也成立，即有如下关系式：(10n+l)4m(10n+3)4m(lOn+7)4m(lOn+9)4m=l(modlO)=1(mod10)=1(modlO)=1(modlO)nGZ+,mGZ+nGZ+,m€Z+n£Z+,m€Z+nGZ+,m6Z+当k二m+1时,(lOn+l)45+i)
5、=(ion+i)(m+4)=(ion+i/m(10n+“4(lOn+3)45+1)=(10n+3)<4m+4)=(lOn+3)4m(10n+3)4三l(modlO)nGZ+,mGZ+(lOn+7)4(m+1)=(lOn+7)(4m+4)=(lOn+7)4m(10n+7)4三l(modlO)nGZ+,mGZ+(lOn+9)仙+1)=(ion+9)(4m+4>=(lOn+9)4m(10n+9)4三1(modlO)nGZ+,mGZ+所以，当k二m+1吋，上述命题也成立。综上所述，该定理成立。由定理2得到以下推论：推论2：任何两个大于2(5除外)的素数的次方之差必为10的倍数
6、。证：对大于2的素数，且不为5的素数可由定理2直接得到。推论3：大于2的素数的4k+l次方的个位数字与该素数本身的个位数字相同。证：当p二5时,54k=5(mod5),54k+1=5(mod5),(keZ+)，当PH5时，P的个位数字必为1,3,7或9。(10n+l)4k+1=(10n+l)4k(10n+1)=1(modlO)(lOn+3)4k+1=(lOn+3)4k(10n+3)=1(modlO)(lOn+7)4k+1=(lOn+7)4k(10n+7)=1(modlO)(lOn+9)4k+1=(lOn+9)4k(10n+9)=1(mod10)所以，命题得证。性质5：
7、任何素数的7次方与该素数的3次方的差为10的倍数。证：设P为素数。当p二2时，2?二128,23=8,命题成立。当P二5时，5?二78125,53=125,命题也成立。当P>5时,P必为奇数,P的个位数字必为1,3,7或9。(10n+I)7=1(modlO),(10n+l)3=1(modlO)(10n+3)7=1(modlO),(10n+3)3=1(modlO)(10n+7)7=l(modlO),(10n+7)3=1(modlO)(10n+9)7=1(modlO),(10n+9)3=1(modlO)所以，由以上可得命题成立。由性质5猜想得:定理3：—
