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1、素数/质数/PrimeNumberWhowouldhaveimaginedthatsomethingasstraightforwardasthenaturalnumbers(1,2,3,4,...)couldgivebirthtoanythingsobafflingastheprimenumbers(2,3,5,7,11,...)?——IanStewart素数的分布The‘average’distributionofprimesisveryregular;itsdensityshowsasteadybutslowdecrease.Ontheotherhandthedistributi
2、onoftheprimesindetailisextremelyirregular.(G.H.Hardy)Godmaynotplaydicewiththeuniverse,butsomethingstrangeisgoingonwiththeprimenumbers.(CarlPomerance)素数的分布Theprimenumbertheoremshowsthattheprimeshavesomelarge-scalestructure,eventhoughtheycanbehavequiterandomlyatsmallerscales.(TerenceTao)Ontheothe
3、rhand,theprimesalsohavesomelocalstructure.Forinstance,(TerenceTao)Theyareallodd(withoneexception);Theyarealladjacenttoamultipleofsix(withtwoexceptions);Theirlastdigitisalways1,3,7,or9(withtwoexceptions).素数的随机分布在整体上表现出正则性倾向而在局部却呈现出无规则性态，这是素数分布的一个值得注意的地方。素数就像对物理学家极其重要的“理想气体”，客观地讲，其分布可以说是确定的，然而当我们
4、试图描述它在一给定点的情况时，我们却观察到类似掷骰子碰运气的赌博那样的统计振荡。素数的随机分布素数如同理想气体那样占据着所能允许的整个空间（而这正意味着随机性），也就是说，素数在那些非常严格使之极端正则的限制性条件下有着充分的自由度。在大多数关于素数的猜想中都隐含着这样的观点：任何不是显然不可能的实际都是可实现的。（LesNombresPremiers）素数之美我们可以用相当好的准确度来预测N以内素数的个数.另一方面，素数在一些短区间内的分布是相当没有规律的。这种既“随机”又可预测相组合便使得素数的分布既是有序的排列，同时又有意外的现象。Schroeder在他精彩的书《科学和通信中的
5、数论》(1984)一书中，把这种现象称作是艺术作品的基本要素。许多数学家都认为素数分布问题具有极大的美学动力。(Thelittlebookofbiggerprimes)重要事实Theseries∑1/p=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+…isdivergent.而∑1/n2=2/6，这说明质数是正整数集的真正有份量的子集Eulerproduct∑1/ns≡∏1/(1-p-s)holdsforallssuchthattheleft-handsideconvergesabsolutely.重要事实∑n≤x1/n=㏒x+γ+O(1/x)whereγisEuler-Mascher
6、oniconstant.γ=0.577215664901532860651….∑p≤x1/p=㏒㏒x+B1+O(1/㏒x)whereB1isMertensconstant.B1=0.2614972128….Brun'sConstantThenumberobtainedbyaddingthereciprocalsoftheoddtwinprimes,B≡(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+(1/17+1/19)+…,ByBrun'stheorem,theseriesconvergestoadefinitenumber,whichexpressesthesca
7、rcityoftwinprimes,evenifthereareinfinitelymanyofthem.B≈1.902160583104Thelogarithmicfunction㏒xtendstoinfinitymoreslowlythananypositivepowerofx.㏒x/xδ→0foreverypositiveδ.Thefunctionx/㏒xtendstoinfinitymoreslowlythanxbutmorerapidlythan
