《量子化学基础》习题课

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1、《量子化学基础》习题课1.波粒二象性:,测不准关系·≧习题1.一粒微尘m=10-8kg,运动速度m/s,若速度的不确定程度为m/s可谓很精确,试计算位置的不确定程度.(h=6.626×10-34J.s)(答案:m)习题2.原子直径约为1(10-10m),核外电子运动速度大约是光速的1%,计算速度的不确定度.(答案:m)例1.已知光学光栅窄缝宽度为10-4cm,电子动能为105eV,试用测不准关系证明:用光学光栅观测不到电子衍射.解:单缝衍射如下图①按干涉原理,图中电子射向屏中第一暗区,说明物质波相互抵消,上下两束电子波的

2、光程差应为d/2.②这里cm,(9.11×10-31kg；1.602×10-19C)=3.87×10-12m证毕.习题3.计算动能为3000eV的电子的deBrogle波长(1eV=1.602×10-19J,)(答案:.)2.一维势箱:,习题4.计算箱宽为5×10-10m的一维势箱中粒子n=1、2时的能量.及粒子从n=2跃迁到n=1时辐射的波长.(答案:E1=2.41×10-19J,E2=9.64×10-19JJm)习题5.可将原子中的电子粗略的模拟为一维箱中粒子,箱的宽度为原子的尺度.计算在长度1的箱中电子两个最低能级

3、之差(eV)和在此两能级间跃迁的光子波长(cm).(答案:eV,m)例2.丁二烯(H2C=CH-CH=CH2)4个π电子(Pz电子),可以近似地看作长度为大Π键键长(已知:双键长、单键长)的一维势箱中的4个粒子的运动.体系的基态向第一激发态的跃迁为:求:体系基态向第一激发态的跃迁能(cm-1).解.箱长:..例3.有一个量子数为n在长度为的一维箱中运动的粒子(1)计算在箱的左端区内找到粒子的几率.(2)n为何值时该几率最大?(3)计算当n→∞时该几率的极限?解:即,n=3时,P最大..(该式说明:当n→∞时量子力学问题还

4、原为经典(力学)问题,因为经典力学处理一维箱问题在左端1/4处的几率正是1/4.)习题6.有一质量为1g的小球,在长为10cm的一维箱中运动小球速度0.1cm/s,试求小球的量子数n是多少?(答案:n=3.018×1026)3.一位谐振子:()习题7.HI近红外光谱的基本振动频率.cm-1,求HI键的弹力常数.(答案:=2.93×105D.cm-1)习题8.已知H2和Cl2的基本振动频率分别为cm-1,cm-1,求它们的零点能.(答案:E0(H2)=6.28kg/mol,E0(Cl2)=0.807kg/mol)例4.利用

5、简谐振动公式:,证明一维谐振子的总能量是常数:解:,带入上式,得:.习题9.若H35Cl基本振动频率s-1,试求H37Cl的基本振动频率,设它们键的力常数相同.(答案:8.660×1013s-1)4.刚性转子:()(式中)例5.由HCl的远红外光谱数据得知HCl的转动能级相邻谱线间距为20.74cm-1,求HCl分子的键长r.解:g/mol=1.287×10-8cm=1.287习题10.从CN的微波谱知道一系列谱线的间距皆为3.7978cm-1,求该分子的核间距r.(答案:r=1.172×10-10m)习题11.已知CN

6、+的键长是1.29,指出CN+微波谱的第一到第四条线的位置.(答案:3.134cm-1,6.268cm-1,9.402cm-1,12.536cm-15.算符:其中与本征函数:=k习题12.写出下列物理量的算符:(1)动量P,(2)动量,(3),(4)动能T(答案(1),(2)(3)(4))13.计算算符的本征函数的本征值(答案:)14.利用[,]=1,(1)计算,(2)(答案:(1)(2))15.三维箱中粒子的波函数是下列那些算符的本征函数(1),(2),(3),(4).(答案(2),(3))6.对易计算以下对易恒等式可

7、方便对易运算:①.②.(n=1,2,3…)③.④⑤例6.计算对易子:,,,.解:(式中)16.计算:(答案:=.)例7.证明:解:证毕7.H原子薛定谔方程的解(n=1,2,…),其中.氢原子波函数受控于三个量子数()习题17.下列函数(1)2Pz,(2)2Px,(3)2P1分别是算符、、中哪个的本征函数.(答案:(1)、(3)全是,(2)是、的本征函数)习题18.对H原子P态,测量LZ的可能值为h、0、-h,问在下列函数中测量LZ得到各可能值的几率.(1),(2),(3)(答案:(1)得0值几率为1,得h、-h几率为0.

8、(2)得h、-h几率各为,得0值几率为0.(3)=,得h几率为1,其余为0)例8.已知H原子方程复数解:,(1)验证是归一化的.(2)证明是算符的本征函数.而线性组合的实函数:不是的本征函数.解:(1)(2)而不构成本征方程:.例如n=2,=1的H原子波函数是p轨道,有三个状态(m=1,0,-1),其复函数形式为:(