2008年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

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1、2008年北京市高考数学试卷（理科）　一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．已知全集，集合，那么集合等于（）A．B．C．D．2．若，则（　　）A．B．C．D．3．“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（　　）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．若点到直线的距离比它到点的距离小，则点的轨迹为（　　）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线5．若实数满足则的最小值是（　　）A．B．C．D．6．已知数列对任意的满足，且，那么等于（　　）A．B．C．D．　7．过直线上的

2、一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（　　）A．B．C．D．【考点】圆的切线方程．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】过圆心作直线的垂线交于点，过点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为。明白点后，用图象法解之也很方便。【解答】圆的圆心，过与垂直的直线方程：，它与的交点，到距离是，两条切线，它们之间的夹角为。故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，以及数形结合的数学思想；这个解题方法在高考中应用的非常普遍。师补充：由切线长定理，关于直线对称，由已知，得直线与直线垂直，故得，从而得与的交点，而，半

3、径为，得的夹角为。　8．如图，动点在正方体的对角线上。过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于。设，则函数的图象大致是（　　）8A．B．C．D．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】只有当移动到正方体中心时，有唯一的最大值，则淘汰选项点移动时，的关系应该是线性的，则淘汰选项D．【解答】设正方体的棱长为，显然，当移动到对角线的中点时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；当在上时，分别过作底面的垂线，垂足分别为，则是一次函数，所以排除D。故选B．【点评】本题考查直线与截面的位置关系

4、、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法。师补充：设正方体的棱长为，解：如图，分别为的中点，，，在平面中，作的平行线，即满足已知条件。当时，，得；当时，，得，分段函数，故选B。二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知，其中是虚数单位，那么实数　　。　10．已知向量与的夹角为，且，那么的值为　　。【分析】向量数量积运算，三种方法：一定义，二坐标，三是数形结合。11．若展开式的各项系数之和为，则　　，其展开式中的常数项为　　。（用数字作答）　812．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则　　；

5、　　。（用数字作答）【分析】由函数的图象可知，，当，，所以由导数的几何意义知。13．已知函数，对于上的任意，有如下条件：①；②；③。其中能使恒成立的条件序号是　　。【考点】函数奇偶性的性质；导函数确定单调性。菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】函数是个偶函数，由于，在上，可推断出函数在轴两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使恒成立，只需到原点的距离比到原点的距离大即可，由此可得出，在所给三个条件中找符合条件的即可。【解答】函数在上为单调增函数，由偶函数性质知函数在上为减函数。当时，

6、得，∴，由函数在上为偶函数得，故②成立。∵，而，∴①不成立，同理可知③不成立．故答案是②。故应填②【点评】本题考查函数的性质奇偶性与单调性，属于利用性质推导出自变量的大小的问题，本题的解题方法新颖，判断灵活，方法巧妙。　14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，当时，。表示非负实数的整数部分，例如。按此方案，第6棵树种植点的坐标应为　　；第2009棵树种植点的坐标应为　　。【考点】数列的应用．菁优网版权所有【专题】压轴题；规律型．【分析】由题意可知，数列为；数列为由此入

7、手能够得到第6棵树种植点的坐标和第2009棵树种植点的坐标。8【解答】∵组成的数列为一一代入计算得数列为即的重复规律是。。数列为即的重复规律是。∴由题意可知第6棵树种植点的坐标应为；第2009棵树种植点的坐标应为。【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意创新题的灵活运用。师补充：答案抽象。…，周期数列，周期为5，故得。三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）已知函数的最小正周期为。⑴求的值；⑵求函数在区间上的取值范围。【略解】⑴，，解得。⑵由⑴得。∵，∴，∴，∴，即的取值范围为。【点评】公式的记忆，范围

8、的确定，符号的确定是容易出错的地方。　16．（14分）如图，在三棱锥中，。⑴求证：；⑵求二面角的大小；⑶求点到平面的距离。【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有【专题】计算题；证明题．【分析】⑴欲证PC⊥AB，取AB中点D，连接PD，CD，可先证AB⊥平面PCD，欲证AB⊥平面PCD，根据直线