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1、第五讲导数的应用(一)授课提示：对应学生用书第17页[考情分析]1.课标卷毎年命题会以“一小一大”的格局出现，“一小”即以选择题或填空题的形式考查导数的几何意义和导数在研究函数问题中的直接应用.“一大”即以压轴题的形式考查导数、不等式、方程等方面的综合应用，难度较大；2.作为高考必考内容，课标卷每年在此部分的命题较稳定，有一定程度的综合性，方法、能力要求较髙.年份卷别考查角度及命题位置2017I卷利用导数求三棱锥的体积・T]6II卷函数的极小值求法2016I卷利用导数研究函数的图象和性质丁7利用导数研究函数零点、不等式证明・T21II卷曲线的切线方程I”利用导数判断函数的单
2、调性、证明不等式、求函数的最值问题III卷导数的几何意义，切线方程丁15导数与函数、不等式的综合应用72】2015I卷导数与函数的单调性，根据存在性问题求参数的取值范围J"导数的几何意义，函数的最值、零点问题廿2】II卷导数的应用，抽象函数丁12利用导数研究函数的单调性，根据恒成立求参数的取值范围・T2][真题自检]解析：因为7W为偶函数，所以当x>0时，./U)=/(-x)=lnx-3x,所以当Q0时，/'(x)=—3,则/(1)=-2.所以y=f(x)在点(1,一3)处的切线方程为y+3=-2(x~V)f即y=~2x~l.答案：y=—2x~]3.(2016-高考全国卷I
3、I)若直线y=kx+b是曲线y=x+2的切线，也是曲线y=ln(x+l)的切线，贝9方=解析：y=inx+2的切线方程为：尹=丄x+lnxi+1(设切点横坐标为旳)，X1j-=ln(x+l)的切线方程为：y=巨；jx+In(兀2+1)一七*](设切点的横坐标为也),X也+1'In兀]+1=ln(%2+1)—1，4、,x2=-
5、,:.b=X]+1=1-1112.答案:l-ln24.(2017-高考全国卷II)己知函数_/(x)=ax2~ax~xx,且/(x)>0.⑴求a；⑵证明：.心)存在唯一的极大值点xo,且e~2
6、：⑴沧)的定义域为(0,+oo).设g(x)=qx—q—Inx,则/(.¥)=xg(x),f(x)20等价于g⑴$0.因为g(l)=O,g(x)20,故g'(1)=0,而g'(x)=Q-£,g'(1)=Q-1,得Q=l.若a=1,则g'⑴二1—当0l时，g‘(x)>0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点，故g(x)3g(l)=0.综上，g=1.(2)证明：由(1)知/(x)=x2—X—xlnx,f(x)=2x—2—lnx.设A(x)=2x-2-lnx,则X(x)=2—.X时，h11b3卜3q+±=2,解得兀0
7、=亍石，进而可得0亍石+111芦；=〃①，又点/坐标为(三二，仍，所以
8、/冈=兀0一三-②，联立方程①②可解得，°=1,b=l,所以a+b=2.答案：2［误区警示］1•色线丄土他)在虎上(砂__刃))一处的丸线走指上为勿直2…斜:至为的切线2…產唯二纹二条一切一线一.…2•曲线丄土俭)过点£(孜-〃)虫切线.昱指丸线经过上虚:…总上可以爰扭点也更咚丕是坯点—西县达样_的直线可能有多条.(x)<0；当+00)时,h'(x)>0.所以〃(x)在(0,单调递减,,/z(l)=O,所以力又/?(c'2)>0,,+8单调递增.有唯一零点x(),在*,+8)有唯一零点1,且当xW(O,
9、xo)时，/z(x)>0;当xW(xo.l)时，/7(x)<0;当xW(l,+8)时，A(x)>0.因为厂(x)=h(x),所以x=x()是/(X)的唯一极大值点.由fdo）=0得In兀0=2（xo—1）,故./（Xo）=兀0（1~'X。）•由皿（0,得加）＜£因为x=x（）是/⑴在（0,1）上的最大值点，由c_1e（OJ）,f（c"V0得,/（a：o）＞/（c-,）=c~2.所以c_2＜/（x（））＜2-2.题型突破1b_3口一丁=2考点二利用导数研究函数的单调性考点一［方法结论］f(Xo)表示曲线尹=/(兀)在点(Xo,.心)))处的切线的斜率，曲线尹=心)在点(xo,
10、.心)))处的切线方程为y—心0)=(兀一兀0)广(兀0)・［题组突破］1.曲线,Ax)=2-xev在点(0,2)处的切线方程为.解析：**f(x)=—e*(l+x),:・f(0)=—1,.:切线方程为尹一2=—x,即x+y—2=0.答案：兀+夕一2=02.(2017-沈阳模拟)设函数/(x)=gg)+，,曲线y=g(x)在点(1,g(l))处的切线方程为9x+y~=0,则曲线y=/(x)在点(2,/⑵)处的切线方程为・1x191解析：由已知得g‘(1)=-9,g(l)=-8,又.f(x)=2g，(亍)+加，・•
