第83讲排列组合常见问题的解法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练（含答案）

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1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第83讲：排列组合常见问题的解法【知识要点】一、两个计数原理1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有帀类办法，在第一类办法中有码种不同的方法，在第二类办法中有怜种不同的方法，……,在第龙类办法中有叫种不同的方法.那么完成这件事共有M=f十％十…十性种不同的方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成跋个步骤，做第一步有％种不同的方法，做第二步有％种不同的方法，……，做第力步有性种不同的方法.那么完成这件事共有"■叫呷f种不同的方法.3、“类”和“步”的区别在于：“类”和“类”之间是相互独立的，

2、互不影响，每一类都可以单独完成任务；''步”和“步”之间是相互依存的，相互影响的，每一步不能单独完成任务.二、排列1、排列的定义：从"个不同元素中，任取曲个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从刊个不同元素中取出麻个元素的一个排列.2、不同的排列的定义：元素和顺序至少有一个不同.3、相同的排列的定义：元素和顺序都相同的排列.4、排列数的定义：从咸个不同元素屮，任取个元素的所有排列的个数叫做从対个元素屮取出曲元素的排列数，用符号第表示.川5、排列数公式：47二心-D…0-曲+叭0-阀！（»,AT,且E"）.黑33!-«

3、■（叫做禄的阶剩规定°'=1三、组合1、组合的定义：从网个不同元素中，任取麻（个元素，并成一组，叫做从"个不同元素中取出霹个元素的一个组合.2、组合数：从粒个不同的元素中取出*»（个元素的所有组合的个数，用符号碍3、组合数公式:硏二43二lx2x—xm二曲!心■拠（幵wM,meAT,且规定金-01=1这里两个公式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算,n!注意公式的逆用，即由=4、组合数性质:5、要弄清排列和组合的区別和联系：有序排列，无序组合.四、排列组合综合性问题1、排列组合问题的解题步骤：仔细审题T编程T列式T

4、计算2、编程的一般方法一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.3、解排列组合问题，要排组分清（有序排列，无序组合），加乘有序（分类加法，分步乘法）•【方法讲评】方法简单问题直接法解题方法直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答.【例1]（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调

5、查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）C.种【解析】⑴先从10人中选出2人承担甲项任务，有种方法,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，有C：种方法；第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，有Cl种方法•根据乘法分步原理得不同的选法共有C$C；CJ2520种，故选C.（2〉先从12个人里选4个人到第一个路口调查，有X种方法；再从剩下的8个人里选4个人到第二个路口调查，有C；种方法；最后剩下的4个人到第三个路口调查，有C：种方法•根据乘法分步原理得有C0C：种，所以选/・【点评】如果已知条件没有什么限制条件，可以直接利用两个计数原理分步和

6、分类解答.【反馈检测1]2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表.其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，屮国领导人站在第一排正屮间位置,美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有种（用排列组合表示）.【反馈检测2】甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法（）A.10B.16C.20D.24方法二特殊元素优先法解题方法优先考

7、虑一些特殊的元素和位置.【例2]rtl0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.【解析】由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有G种方法，然后排首位共有睹种方法，最后排其它位置共有分步乘法原理得共有曲肉二2®种方法.【点评】位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置•若有多个约束条件，往往是考虑一个约朿条件的同时还要兼顾其它条件.【反馈检测3]201

8、0年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者屮选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派