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1、平移变换1.(07北京)如图，已知△如?C.(1)请你在BC边上分别取两点DE(BC的中点除外)，连结ADAE,写出使此图中牙仔程西对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；(2)请你根据使(1)成立的相应条件，证明AB+AOAD+AE.EA的平行线，两线交于F点，DF与图2图323.解：(1)如图1,BD=CE丰DE；ZBD和△ACE,△ABE和△ACD.(2)证法一：如图2,分别过点D,B作CA,AB交于G点。所以ZACE=ZFDB,ZAEC=ZFBD。在厶AEC和△"£>中，又CE=BD,可证△AEC
2、^/XFBD.所以AC=FD,AE=FB。在△4GD中，AG+DG>AD,在ZXBFG中，BG+FG>FB,所以AG+DG-AD>0,BG+FG-FB>0o所以AG+DG+BG+FG・AD・FB>()。即AB+FD>AD+FB。所以AB+AC>AD+AE。证法二如图3,分别过点A,E作CB,CA,的平行线，两线交于F点，EF与AB交于G点，连结BFo则四边形EFCA是平行四边形。所以FE=AC,AF=CEo因为BD=CE,所以BD=AFO所以四边形FBDA是平行四边形。所以FB=ADo在厶AGE中，AG+EG>AE,在Z
3、XBFG中，BG+FG>FB,可推得AG+EG+BG+FG>AE+FB。所以AB+AC>AD+AE°证法三：如图4,取DE的中点0,连结AO并延长到F点，使得F0=A0,连结EF,CFo在△ADO和△FEO中，乂AA0D=ZF0E,DO二E0。可证△ADOU'FEO°所以AD=FE«因为BD二CE,DO=EO,所以BO=COo同理可证厶ABO^/FCOo所以AB=FCo延氏AE交CF于G点。在AACG中，AC+CG>AE+EG,在△EFG中，EG+FG>EFo可推得AC+CG+EG+FG>AE+EG+EF。即AC+CF
4、>AE+EFo所以AB+AC>AD+AE。2、在RtAABC屮，ZC=90°,D,E分别为CB,CA延长线上的点，BE与AD的交点为P.（1）若BD=AC,AE=CD,在图1中画出符合题意的图形，并直接写出ZAPE的度数；(2)若AC=x5BD,CD=x/3AE,求ZAPE的度数.解：(1)作EF等于且平行BD,则EP平行FD,.ZAPE=ZADF,.•.AACD^AAEF,AAD=AF,•••△AH)为等腰直角三角形.AZAPE=45°.答：ZAPE的度数为45°.(2)解法一：如图2,将AE平移到DF,连接BF,E
5、F.则四边形AEFD是平行四边形.•・AD〃EF,AD=EF.ZAC=V3BD,CD二巧AE,••竺r,竺二竺MBDAEDFACCD•—BD~DF.-ZC=90°,-.ZBDF=180°-ZC=90°.ZC=ZBD1'.••△ACDs/XBDF.ADACit•・——=——=Q3,Z1=Z2.BFBD••竺二竺BFBF••Z1+Z3二90°,Z2+Z3=90°.•・BF丄AD.•・BF丄EF.••在RtABEF中，tanZBEF=ZAPE=ZBEF=30°.解法二如图3,将CA平移到DF,连接AF,BF,EF.则四边
6、形ACDF是平行四边形.ZZC=90°,••四边形八CDF是矩形,ZAFD=ZCAF=90°,Z3+Z2=90°.•••在RtAAEF中，tanZ4二AEIfAECD在ZBDF中，论2=竺=竺DFAC3AZ4=Z2=30°・.Z3+Z2=Z4+Z2=90°,即ZEFB=90°.•••ZAFD=ZEFB.AAADF^AEBF.AZ1=Z5.JZAPE+Z1二Z4+Z5,AZAPE=Z4=30°.答：ZAPE的度数为3(r・
