高考开放性试题题型及解题策略初探

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1、高考开放性试题题型及解题策略初探高考屮的开放性试题是一类口的条件或结论不完备的问题，命题者根据学科的特点，将数学知识冇机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题。主耍考查学生探索解题途径，解决非传统完备的能力，它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求.使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。其难度大、要求高，是训练和考查学生的创新精神，数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型.近几年來高考中开放性试题份量在加重，形式也多样，在选择题、填

2、空题、解答题中都已出现，很多时候放在压轴题，以数列、解几、函数做背景，其优点是区分度大，充分考察了学生的综合能力，高考常见的开放性试题，就其命题特点考虑，可分为有限归纳型、题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型以及探索类型的儿类问题。高考题中一般解这类问题有如下方法：一、有限归纳类型。特点：要求通过观察、类比、归纳，推测出问题的结论，然后对结论再加以证明。对策：通过有限项列举，再归纳，猜想或通过联想一般性结论而类比。例1.（2010陕西卷）观察下列等式：13+23=32,P+23+33=62,13+23+33+43=102

3、,---,根据上述规律，第五个等••••式为.■解：・・•所给等式左边的底数依次分别为1,2；1,2,3；1,2,3,4;…，右边的底数依次分别为3,6,10,…（注意：这里3+3=6,6+4=10）,・••由底数内在规律3=1+2,6=14-2+3,10二1+2+3+4可矢fl：第五个等式左边的底数为1,2,3,4,5,6,右边的底数为10+5+6=21.乂左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等^^jl3+23+33+43+53+63=212.点评：上述解法通过有限项列举，再归纳，猜想得到第五个等式，然而一般确定数列需耍

4、五个基本量，上而若改为第n个式子，以上右边的推理方法就不可靠了，所以此题如应用联想qT+f.—"呼『处理为佳!二、题设开放类型。特点：给出结论，不给出条件或条件残缺。对策：执果索因，先寻找结论成立的必耍条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.例2如图，在直四棱柱AECD—ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件吋，有AC丄BD（注：填上你认为正确的条件即可,不必考虑所有口J能的情况）分析：本题是题设开放探索型试题，即寻找结论AQ丄BD成立的充分条件，由AAi丄平面AC以及AiC丄BQ（平面A©的一条斜线AQ与面内的一条直

5、线互相垂直），容易联想到三垂线定理及其逆定理。因此，欲使AC丄BD,只需与CAi在平而AC上的射影垂直即可。显然，CAi在平面AC上的射影为AC,故当BD丄AC时，有AC丄乂由于直四棱柱的上、下底面互相平行，从而BD〃BD,AQ〃AC。因此，当BD丄AC时，有AQ丄B.D1O曲于本题是要探求使AiC丄成立的充分条件，故当四边形ABCD为菱形或止方形时，依然有BD丄AC,从而有AiC丄BD,故可以填：①AC丄BD或②四边形ABCD为菱形，或③四边形ABCD为正方形屮的任一个条件即可。本例中，满足题意的充分条件不唯一，具有开放性特

6、点，这类试题重在考查基础知识的灵活运用以及归纳探索能力。三、结论开放类型。特点:给出一定的条件而未给出结论。对策：执因索果，先寻找条件成立的充分条件，再通过检验或认证找到条件成立的充分条件.例3如图，E、F分别为正方体的面ADD.A.和面BCC.B.的中心，则四边形BFD.E在该正方体的面上的射影可能是（要求把可能的图形的序号都填上）D解：由丁•正方体的6个而可分为互为平行的三对，而四边形BFDiE的在互为平行的平面上的射影相同，因此可把问题分为三类：a：在上、下两面上的射影为图②；b：在前、后两面上的射影为图②；c：在左、右

7、两面上的射影为图③.综上口J知，在正方体各面上的射影是图②或图③。例4.若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设仏｝是公比为q的无穷等比数列，下列匕」的四组量屮，一定能成为该数列“基木量”的是第组.（写出所有符合要求的组号）.①Si与S2；②遏与S3；③心与an；④q与久・（其屮n为大于1的整数，Sn为｛色｝的前n项和・）解：（1）±

8、S］和S2,可知81和比・dh—=可得公比q,故能确定数列是该数列的“基木量”.（2）由岂与,，设其公比为q,首项为內，可得5=a｛q,ax=—,S3=+axq+a｝q2q・・S3

9、=-—++cxq,••ci^i~+（a°—SJg+禺=0满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列｛勺｝的基木量.(3)曲乞I占an,口J得an=,当n为奇数时，q口J能有两个值,a故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量.(4)由q