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1、赵薇导热数值解法基础NumericalSolutionstoHeatConductionProblems辽宁工业大学土木建筑工程学院2010现代科学研究的三大基本方法及其关系理论分析Analytical数值模拟Numerical实验研究Experimental导热数值解法基础分析解精确几何形状及边界条件简单情况实验条件复杂费用昂贵弥补两者的缺点分类有限差分法有限元法边界元法2空调送风方案对比AB3§4-1建立离散方程的方法导热数值解法基础把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场（如速度场、温度场、浓度场等），用有
2、限个离散点（称为节点，node）上的值的集合来代替；通过一定的方法建立起这些离散点上变量之间关系的代数方程（称为离散方程，discretizationequation）；求解所建立起来的代数方程以获得所求解变量的近似解（也称为数值解）。对于导热问题：求解对象为导热物体的温度场1.物理问题数值解的基本思想4导热数值解法基础建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点方程（方程离散化）设温度场的迭代初值求解离散方程是否收敛？解的分析改进初场是否Taylor级数展开法；热平衡法；控制容积积分法等直接求解
3、；迭代求解建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点方程（方程离散化）设温度场的迭代初值求解离散方程是否收敛？解的分析改进初场是否热流量分析；热应力分析等2.物理问题数值求解的过程5导热数值解法基础节点(node)—所求未知量的位置，包括内节点和边界节点步长(step)—相邻节点的距离控制容积(controlvolume)/微元体—实施守恒定律的最小几何单位界面(interface)—控制容积的分界位置网格线(gridlines)—沿坐标方向相邻节点连接成的曲线簇元素3.区域离散化6导热数值解法基
4、础InternationalJournalofNumericalMethodsinFluids,1998,28:1371-1387.网格越密，节点越多，不连续节点温度的集合越逼近分析解。但是解题花费时间越多。当网格足够细密以至于再进一步加密网格已对数值计算结果基本上没有影响时，所得到的数值解称为网格独立解（grid-independentsolutions）7导热数值解法基础4.建立离散方程的方法基本思想为用差商代替导数，用线性代数方程代替导热微分方程。建立离散方程的方法基本上有两种：泰勒级数展开法和热平衡法。热
5、平衡法是学习的重点。泰勒级数展开法应用泰勒级数展开式，把导热微分方程中的各阶导数用相应的差分表达式来代替。用节点(i,j)的温度来表示节点(i+1,j)的温度时：(1)8导热数值解法基础4.建立离散方程的方法泰勒级数展开法合并上式右边第三项及以后各项，整理得式中，表示二阶导数和更高阶导数之和，称为截断误差也表明未写出的级数余项中的最低阶数为1。当趋近于零，趋近于零，此时可用代替截断误差小于或等于。（2）式是节点(i,j)一阶导数的向前差分表达式。(2)9导热数值解法基础4.建立离散方程的方法类似的，用节点(i,j
6、)的温度来表示节点(i-1,j)的温度时：合并上式右边第三项及以后各项，整理得（4）式是节点(i,j)一阶导数的向后差分表达式。将（1）式减（3）式，得节点(i,j)一阶导数的中心差分表达式：(3)(4)(5)误差最小10导热数值解法基础4.建立离散方程的方法（1）式加（3）式，得节点(i,j)二阶导数的中心差分表达式类似的，节点(i,j)对y的二阶导数的中心差分表达式为对于常物性，无内热源二维稳态导热微分方程，节点（i,j）的离散方程为：(6)(7)(8)11导热数值解法基础4.建立离散方程的方法(2)热平衡法
7、——学习重点对于节点P（i,j）所代表的微元体，在x,y方向分别与四个节点相邻。由于节点之间间距很小，可认为温度分布是线性的。根据傅里叶定律，L和P之间的到热量为：同理可得：12导热数值解法基础4.建立离散方程的方法以常物性，无热源二维稳态导热为例，对节点P所代表的微元体写热平衡式将上面各式带入得节点（i,j）的离散方程为：可见，热平衡法导出的离散方程与泰勒级数展开法导出的离散方程是一致的。热平衡法直接将能量守恒原理以及傅里叶定律应用于节点所代表的控制容积。这种方法物理概念清晰，推导过程简捷。建议使用。131、内
8、节点离散方程以常物性、无内热源的二维稳态导热为例，对于物体内任意点P(i,j)，它的离散方程为若网格划分均匀，那么对于物体内每个节点，可逐个写出它们的离散方程，从而得到一组离散方程。导热数值解法基础§4-2稳态导热的数值计算142、边界节点离散方程边界节点收边界条件的制约和影响，因此上述得到的方程对边界节点不适用。下面分别讨论不同边界条件下离散方程的建立a.第一类边界条件
