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《2017版高考数学（理）人教A版（全国）一轮复习（课件+习题+讲义）：第8章 立体几何与空间向量 8.6》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ，使得b＝λa.推论 如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta①其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝(1－t)＋t.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：
2、p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1.(3)空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈
3、a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则
4、a
5、
6、b
7、cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝
8、a
9、
10、b
11、cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝
12、λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模
13、a
14、夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面．( √ )(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × )(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( × )(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.( √ )(6)对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y
15、＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．(×)1.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c答案 A解析 ＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.2．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是( )A.和B.C.D.或答案 A解析 因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4，5)＝±(－
16、3，－4,5)，故选A.3.如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝(用a，b，c表示)．答案 a＋b＋c解析 ＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.4．(教材改编)已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若
17、a
18、＝6，且a⊥b，则x＋y的值为．答案 1或－3解析 依题意得解得或5．(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为．答案 解析
19、
20、2＝＝(＋＋)2＝＋＋＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴
21、
22、＝，∴E
23、F的长为.题型一 空间向量的线性运算例1 (1)已知在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于( )A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD.a＋b－c(2)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简－－＝；②用，，表示，则＝.答案 (1)B (2)①②＋＋解析 (1)显然＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.(2)①－－＝－(＋)＝－＝＋＝.②＝＝(＋)，∴＝＋＝(＋)＋＝＋＋.引申探究1．若本例(1)中将“点M在OA上，且OM＝2MA”改为“M为OA的中点，点G在
24、线段MN上，且＝2”，则＝.答案 a＋b＋c解析 如图所示，∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－＝＋×(＋)－×＝＋＋＝a＋b＋c..2．若本例(2)中条件不变
