2017版高考数学（理）人教A版（全国）一轮复习（课件+习题+讲义）：第8章　立体几何与空间向量 8.5

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1、1．直线与平面垂直2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理与性质定理图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内的任意一条直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，b⊂αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　×　)(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(　√

2、　)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　√　)(4)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(　×　)(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β.(　√　)(6)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　×　)1．(教材改编)下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是(　　)A．l与平面α内的两条直线垂直B．l与平面α内无数条直线垂直C．l与平面α内的某一条直线垂直D．l与平面α内任意一条直线垂直答案　D解析　由直线与平面垂直的定义，可知D正确．2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β

3、内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　若α⊥β，因为α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是(　　)A．α⊥β且m⊂αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n，

4、n⊂α且α∥β答案　C解析　由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确．4．(教材改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_____________________________对．答案　7解析　由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．5．(教材改编)在三棱锥P－ABC

5、中，点P在平面ABC中的射影为点O，(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案　(1)外　(2)垂解析　(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平

6、面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，即O为△ABC的垂心．题型一　直线与平面垂直的判定与性质例1　(1)(2014·辽宁)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．①求证：EF⊥平面BCG；②求三棱锥D－BCG的体积．附：锥体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高．①证明　由已知得△ABC≌△DBC，因此AC＝DC.又G为AD的中点

7、，所以CG⊥AD.同理BG⊥AD，又BG∩CG＝G，因此AD⊥平面BGC.又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.②解　在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半．在△AOB中，AO＝AB·sin60°＝，所以VD－BCG＝VG－BCD＝S△DBC·h＝×BD·BC·sin120°·＝.(2)如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD

8、⊥平面ABC，PD＝DB.求证：PA⊥CD.证明　因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由AC＝BC得，∠ABC＝30°，设AD＝1，由3AD＝DB得，DB＝3，BC＝2，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.因为PD⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以PA⊥CD.思