【精品】数据包络分析

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1、数据包络分析数据包络分析（DEA）是由A.Charnes,W.W.Cooper和E.Rhodes于1978年首次提出的评价决策单元相对有效性的方法。§1生产可能集的类型假设有n个部门或单位（称为决策单元，decisionmakingunit）,这n个决策单元都是具有可比性的。每个决策单元都有m种类型的“输入”（表示该决策单元对“资源”的耗费,类似于经济学中的生产要素）和s种类型的“输出”（它们是决策单元在消耗了“资源”之后，表明“成效”的一些指标，例如经济效益指标及产品质量指标）。我们对有效性的理解是以尽可能小的输入得到尽可能大的输出。设第j个决

2、策单元的输入为Xj=（“,X2j,…,"）丁,输出为Y.=（开j,y2j，…，儿J。所有被评价的决策单元的输入输出情况实际上体现了当时环境下的“生产技术水平”，那么，在这种技术水平下，一定量的输入的可能产出是多少？（最大产出是多少？）或者，反方向思考同样的问题：一定量的输出需要多少投入？（最少的投入是多少？）o一般地，定义生产可能集为T在由所有被评价决策单元确定的生产]=["技术水平下，X输入可以得到丫输岀。j准确地讲，生产可能集需依照一定的公理系统来确定。生产可能集涉及的公理体系:(1)平凡公理(Xj,Yj)wT,j=l,2,・・M(2)凸性

3、公理V(X,y)eT,(X,f)eT,aw[0,1],均有你+(1-,aY+(l-o)P)訂(3)无效性公理若(XyY)eT,X>X,Yl,均有(aX,aY)wT・（5）最小性公理T是所有满足所涉及公理的集合的交集。定理1满足平凡公理、凸性公理、无效性公理、锥性公理和最小性公理的生产可能集由下式唯一确定：tc1r={(x,y)1>y

4、,>o,;=1,2,.J=Ij=证明：由平凡公理有（X」必）丘八丿・=12…几2A据锥性公理有，VI.>0,(丄•X丿,丄丫)w,丿•=1,2,…,77.nn据凸性公理有,儿4讣：>=•丿C-R据无效性公理，v（x,y）,只要XAixj-x^jYi-Yf就有（x，y）w：r，J=1j=l所以｛(X,y)丨»XjY,2.>0,J=1,2,…加Ctc2r.j=J=1定理2满足平凡公理、凸性公理无效性公理和最小性公理的生产可能集由下式唯一确定:tbc2={（x,r）i»Xjr,*=1,4>0,j=1,2,…,}.j=ij

5、=j=i定理3满足平凡公理、凸性公理、无效性公理、收缩性公理和最小性公理的生产可能集由下式唯一确定：%二{（X』）丨亍〈XjWX,£/l必纠£易“舜nOJ=l,2，…/}・J=1J=ij=l定理4满足平凡公理、凸性公理、无效性公理、扩张性公理和最小性公理的生产可能集由下式唯一确定：满足无效性、平凡性、凸性公理、锥性公理和最小性公理的生产可能集。适合于C?/?模型。满足无效性、平凡性、凸性公理和最小性公理的生产可能集。适合于BC?模型（C2GS2模型）。满足无效性、平凡性、凸性公理、收缩性公理和最小性公理的生产可能集。适合于FG模型。满足无效性、

6、平凡性、凸性公理、扩张性公理和最小性公理的生产可能集。适合于ST模型。§2基于模型的决策单元的有效性评价先考虑具有输入倾向的DEA模型（Input.模型，即考虑在给定的输出下，能否减小输入）。考虑经济管理实践中常用的BC?模型。1984年，Banker,Charnes和Cooper给出了BC2模型:min6>戶1n(%)"./=!J=iA7>O,7=1,2,---?h5_>0,S+>()该模型可以判别生产可能集为7；c2时决策单元的弱有效性和有效性（即在给定的输出下,输入能否再减小）。定义1若（%）的最优值为1，则称决策单元DMUjo为弱DEA有

7、效。定义2若（%）的最优值为1，且对所有最优解都有S-（,=O,S+o=O,则称决策单元DMU■为DEA有效。丿0无效（非弱有效）：产出不多于某个单元（生产可能集中的单元，不一定是已经给岀的单元）的条件下，各个方面的投入都比这个单元多。弱有效：产出不少于某个单元（生产可能集中的单元，不一定是已经给出的单元）的条件下，在某些方面的投入达到最小。有效：不存在产出不少于该单元而投入更小的单元。在只有一个投入指标、一个产岀指标的情况下，弱有效和有效是等价的。？例判断下图所示的诸决策单元的Input-BC2弱有效性。DEA.xls结论：决策单元(3,3)是

8、DEA弱有效的；决策单元(3,2)是DEA弱有效的；决策单元(4,5)是DEA弱有效的；决策单元(4.5,4)不是DEA弱有效的;决策单